求解微分方程定解問題的再生核方法.pdf

1、微分方程定解問題，是研究由微分方程描述某種物理過程或現(xiàn)象，并根據(jù)系統(tǒng)的定解條件來確定整個系統(tǒng)的狀態(tài)變量的變化規(guī)律，即研究狀態(tài)的數(shù)學表達式。
　　微分方程定解問題，就其方程而言，有線性和非線性微分方程之分；就其定解條件而言，有初值問題、邊值問題和初邊值問題；就其問題的未知項，有正問題和反問題。
　　本文探討了用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問題，既有正問題，也有反問題。方程以非線性為主，邊界選擇非局部多點邊值、積分邊界為處理重

2、點。
　　用再生核方法數(shù)值求解微分方程定解問題，是構建能夠“吸收”初邊值條件的再生核空間，將微分方程的定解問題轉化為等價的算子方程。在再生核空間里，將微分方程的精確解用再生核空間的再生核解析表示，最后，對算子方程使用逼近算法求解。由此可見，構造滿足初邊值條件的再生核空間、有效地求出再生核空間的再生核成為能否使用再生核方法的關鍵。
　　近20多年，再生核方法廣泛地應用到微分方程定解領域。1986年，崔明根給出了兩點邊值的再生核

3、的解析表達式，為再生核方法求解微分方程的定解問題奠定了基礎。眾多學者先后對各類初邊值的線性，非線性問題進行了探索，其中邊界條件涉及到兩點邊值、線性邊界、周期邊界。2008年，林迎珍給出了計算非局部積分邊界條件的再生核，使得再生核方法延伸到邊界為積分條件的微分方程的定解問題。但是，對于非局部多點邊界范疇，再生核方法一直難以涉足。其原因是，多點邊值再生核的計算問題一直困擾著我們，難以解決。
　　本文創(chuàng)建了多點邊值再生核空間，提出了求解

4、多點邊值再生核的方法，成功的給出了多點邊值再生核的解析式，使得用再生核方法求解微分方程多點邊值問題成為可能，拓寬了再生核理論的應用范圍。
　　本文還致力于在再生核空間框架下數(shù)值求解若干微分方程定解問題，包括多點邊值問題、反問題和非局部邊值條件的非線性拋物方程。
　　在成功地構建多點邊值問題的再生核空間，計算多點邊值再生核的基礎上，開創(chuàng)了用再生核方法求解線性、非線性多點邊值問題。在再生核空間里，給出了線性和非線性多點邊值問題的

5、解析解。對非線性多點邊值問題設計了迭代法求解，其迭代序列是最佳逼近。
　　而對于反問題，本文首創(chuàng)將再生核方法引入到反問題領域，嘗試了用再生核的方法求解依賴空間或時間變量的主系數(shù)反問題和源參數(shù)反問題。對于主系數(shù)反問題，針對邊值條件構建了再生核空間，使用空間分解技術，求出解的解析表達式，并且構造了確定主系數(shù)的方程組。而對于源參數(shù)反問題，通過特殊的變換，使其反問題等價于再生核空間的非線性算子方程。在再生核空間里設計了迭代算法，其迭代序列

6、是投影算子下的逼近，故是最佳逼近。并且，逼近序列的各階偏導數(shù)亦收斂于解的各階偏導數(shù)。
　　本文還廣泛地應用再生核方法于各類非局部邊值條件的非線性拋物方程（組），針對各類非局部邊值條件創(chuàng)建相應的再生核空間，融復雜的非局部邊界于再生核空間中。在再生核空間中給出解的解析表達式，構造解的逼近序列。
　　本文創(chuàng)建了多點再生核計算。突破了長期以來計算再生核方法的定式，豐富了再生核理論，在非線性多點邊值問題、積分邊值問題、非線性方程組和系