求解一類非線性四階微分方程的再生核方法.pdf

1、自然界中的很多現(xiàn)象都可用非線性微分方程來描述。非線性微分方程的研究對洞察事物內(nèi)部的結(jié)構(gòu)，剖析事物之間的關(guān)系，解釋各種物理現(xiàn)象都起到至關(guān)重要的作用。眾所周知，彈性梁的彎曲狀況是由非線性四階常微分方程來描述的。因此，如何求解這類具有理論價值和實際背景的微分方程也就變得越來越重要了。
　　再生核方法數(shù)值求解非線性微分方程的優(yōu)點是：無論多么復(fù)雜的邊界條件（例如周期邊界條件、積分邊界條件等），都能很容易的放入再生核空間，從而求出相應(yīng)的再生核

2、函數(shù)。然后將微分方程的定解問題轉(zhuǎn)化為等價的算子方程，最后利用再生核空間的良好性質(zhì)和計算技巧來求解算子方程。
　　本論文主要用迭代方法獲得一類非線性四階常微分方程解的存在性和近似解的表達形式，主要的結(jié)論都是基于再生核理論得到的。本文的主要內(nèi)容如下：
　　首先，深入的研究了再生核理論。給出了具有多項式形式的再生核函數(shù)的再生核空間中有界集與緊集的一些重要結(jié)論。
　　其次，在再生核空間中給出了一類非線性四階常微分方程的求解方法

3、。本文成功的創(chuàng)建了一種新的再生核迭代方法，用此方法得到了這類非線性四階常微分方程近似解的表達形式。這種迭代序列是投影算子下的逼近，故是最佳逼近。并且，逼近序列的各階導(dǎo)教亦一致收斂于精確解的各階導(dǎo)數(shù)。值得一提的是這種新的迭代方法避免了原有再生核迭代過程中出現(xiàn)的Gram-Schmidt正交化過程，從而防止了更多計算誤差的堆積，提高了計算精度。
　　第三，討論了由四階邊值問題和二階邊值問題構(gòu)成的非線性常微分方程組的數(shù)值求解。在Hilbe

4、rt空間中將新的迭代方法推廣到求解這類非線性常微分方程組。運用正交投影算子和Hilbert空間上的一組正交函數(shù)系構(gòu)造了收斂的迭代序列，從而得到了方程組的近似解。另外還應(yīng)該指出，推廣的迭代方法可以用來求解各種形式的非線性常微分方程組。
　　最后，給出了一類帶有線性邊界條件的非線性四階微分方程解的存在性證明。本文首次將再生核方法引入到微分方程解的存在性領(lǐng)域。重新定義了再生核空間內(nèi)積，利用再生核空間的逆算子，構(gòu)造了另外一種迭代序列。運用