求解微分方程的李對稱方法

1、求解微分方程的李對稱方法蘇劍林2013 年 11 月 26 日目錄1 李對稱方法簡介 22 一階常微分方程 22.1 無窮小變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 正則坐標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 首次延拓 . . . . . . . . . . .

2、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 方程的對稱性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5 用對稱性解微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.5.1 正則坐標法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3、 . . 62.5.2 積分因子法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 計算對稱性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.7 給定對稱性的方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7.1 直接積分法 . . . . . .

4、. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7.2 正則坐標法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.8 已知對稱性的常微分方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.9 本章算例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、. 93 一階常微分方程組 103.1 無窮小變換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 正則坐標 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.3 首次延拓 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6、113.4 方程組的對稱性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 用對稱性降一階：正則坐標法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212 一階常微分方程 3其中𝑥 = 𝜙(𝑥, 𝑦, 0), 𝑦 = 𝜑(𝑥, &

7、#119910;, 0) 我們在𝜀 = 0附近展開（只考慮一階無窮小） ： ¯ 𝑥 ≈ 𝜙(𝑥, 𝑦, 0) + 𝜉(𝑥, 𝑦)𝜀 = 𝑥 + 𝜉𝜀¯ 𝑦 ≈ 𝜑(𝑥, w

8、910;, 0) + 𝜂(𝑥, 𝑦)𝜀 = 𝑦 + 𝜂𝜀 (3)其中𝜉(𝑥, 𝑦) = 𝜕¯ 𝑥𝜕𝜀|𝜀=0, 𝜂(𝑥, 𝑦) = x

9、597;¯ 𝑦𝜕𝜀|𝜀=0。構(gòu)造以下算子（又稱無窮小生成元）𝑋 = 𝜉 𝜕𝜕𝑥 + 𝜂 𝜕𝜕𝑦 (4)該算子給出了函數(shù)𝑓(𝑥, 𝑦)在變換(2)下增量的線性主部，即w

10、891;(¯ 𝑥, ¯ 𝑦) ≈ 𝑓(𝑥, 𝑦) +(? 𝜕𝑓𝜕¯ 𝑥𝜕¯ 𝑥𝜕𝜀? ? ? ? 𝜀=0)?𝜀 +(? 𝜕𝑓&#

11、120597;¯ 𝑦𝜕¯ 𝑦𝜕𝜀? ? ? ? 𝜀=0)?𝜀= 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜉(𝑥, 𝑦)𝜕𝑓𝜕𝑥𝜀 + 𝜂

12、(𝑥, 𝑦)𝜕𝑓𝜕𝑦 𝜀= 𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝜀𝑋𝑓(𝑥, 𝑦)(5)所以若𝑋𝑓(𝑥, 𝑦) = 0，則𝑓(w

13、909;, 𝑦)在(𝑥, 𝑦) ?→ (¯ 𝑥, ¯ 𝑦)的變換之下保持不變（精確到一階無窮?。?，稱𝑓(𝑥, 𝑦) 容許無窮小生成元𝑋。2.2 正則坐標可對算子X 進行變量代換進行化簡。設𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦)

14、, 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) (6)，期望算符𝑋變換成 ? 𝑋 = 𝜕 𝜕𝑣的簡單形式。我們有𝑑 𝑓 = 𝜕𝑓𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑓x

15、597;𝑦 𝑑𝑦 = 𝜕𝑓𝜕𝑢𝑑𝑢 + 𝜕𝑓𝜕𝑣 𝑑𝑣= 𝜕𝑓𝜕𝑢(?𝜕𝑢𝜕ү

16、09;𝑑𝑥 + 𝜕𝑢𝜕𝑦 𝑑𝑦)?+ 𝜕𝑓𝜕𝑣(?𝜕𝑣𝜕𝑥𝑑𝑥 + 𝜕𝑣𝜕𝑦Ү

17、89;𝑦)?=(?𝜕𝑓𝜕𝑢𝜕𝑢𝜕𝑥 + 𝜕𝑓𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑥)?𝑑𝑥 +(?𝜕𝑓𝜕w

18、906;𝜕𝑢𝜕𝑦 + 𝜕𝑓𝜕𝑣𝜕𝑣𝜕𝑦)?𝑑𝑦那么就有 𝜕𝜕𝑥 = 𝜕𝑢𝜕𝑥𝜕x

19、597;𝑢 + 𝜕𝑣𝜕𝑥𝜕𝜕𝑣 𝜕𝜕𝑦 = 𝜕𝑢𝜕𝑦𝜕𝜕𝑢 + 𝜕𝑣𝜕𝑦𝜕