一些非局部邊值問(wèn)題和泛函微分方程的求解方法.pdf

1、非局部邊值問(wèn)題是微分方程研究領(lǐng)域的一個(gè)重要分支,其主要來(lái)源于熱傳導(dǎo)、化學(xué)工程、熱彈性力學(xué)和等離子物理。泛函微分方程能有效模擬這樣一些復(fù)雜現(xiàn)象,系統(tǒng)中的一些量依賴(lài)于該量受之前已知量影響的情況。經(jīng)常用來(lái)模擬的系統(tǒng)有經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生理學(xué)系統(tǒng)、生理化學(xué)系統(tǒng)和生物系統(tǒng),這些系統(tǒng)的變化率都依賴(lài)于過(guò)去的歷史。因此,非局部邊值問(wèn)題和泛函微分方程這兩類(lèi)問(wèn)題引起了各國(guó)學(xué)者的關(guān)注。然而,它們中的絕大部分都難以求得精確解,從而尋求求解它們的有效數(shù)值方法就引起了大量

2、研究人員的興趣。
　　再生核理論不僅在隨機(jī)過(guò)程、線(xiàn)性方程組理論、算子理論、解析函數(shù)理論等數(shù)學(xué)領(lǐng)域具有重要的作用,而且在量子力學(xué)、信號(hào)分析、統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論和圖形恢復(fù)等應(yīng)用領(lǐng)域同樣重要。本論文主要討論再生核理論的應(yīng)用,特別關(guān)注在非局部邊值問(wèn)題和泛函微分方程這兩類(lèi)問(wèn)題數(shù)值求解方法方面的應(yīng)用。首先建立再生核空間的基本概念和理論,然后應(yīng)用再生核空間理論的良好性質(zhì),提出求解非局部邊值問(wèn)題和泛函微分方程這兩類(lèi)問(wèn)題的數(shù)值方法。本論文的主要研究?jī)?nèi)容概

3、括如下:
　　分別給出構(gòu)造滿(mǎn)足三點(diǎn)邊界條件和四點(diǎn)邊界條件的再生核的方法,在此基礎(chǔ)上,提出滿(mǎn)足一般的線(xiàn)性非局部邊界條件的再生核的構(gòu)造方法。這一工作豐富和發(fā)展了再生核理論,并使得再生核理論在非局部邊值問(wèn)題上的應(yīng)用成為可能。
　　基于再生核理論,討論常微分方程非局部邊值問(wèn)題的求解方法。首先,提出求解線(xiàn)性三階三點(diǎn)邊值問(wèn)題的三種方法:基于正交化的再生核方法、再生核配置法和輔助兩點(diǎn)邊界條件方法,介紹它們的優(yōu)缺點(diǎn),而且,這三種方法可以推廣

4、到更一般的線(xiàn)性非局部邊值問(wèn)題的求解。其次,提出求解非線(xiàn)性四階四點(diǎn)邊值問(wèn)題的三種方法:逐次逼近法、AD-RK方法和迭代輔助兩點(diǎn)邊界條件方法,同樣,這三種方法也可推廣到更一般的非線(xiàn)性非局部邊值問(wèn)題的求解。對(duì)提出的每一種方法都提供了數(shù)值算例,以驗(yàn)證它的精度和有效性。
　　借助再生核理論,討論求解分?jǐn)?shù)階非局部邊值問(wèn)題的數(shù)值方法。首先,結(jié)合基于正交化的再生核方法和高斯積分公式,提出一種求解兩類(lèi)分?jǐn)?shù)階常微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題的新方法。其次,在分

5、數(shù)階常微分方程多點(diǎn)邊值問(wèn)題求解方法的基礎(chǔ)上,提出一種求解空間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的半離散型方法。最后通過(guò)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證所提方法的精度和有效性。
　　據(jù)我們所知,已經(jīng)出現(xiàn)的求解泛函微分方程的數(shù)值方法中,絕大部分都是離散型方法。我們將借助再生核理論的良好性質(zhì),討論三類(lèi)泛函微分方程的連續(xù)型求解方法。首先,借助同倫的思想和基于正交化的再生核方法,提出求解非線(xiàn)性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問(wèn)題的新方法。同倫的思想用來(lái)處理非線(xiàn)性項(xiàng),并把原非線(xiàn)

6、性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一組線(xiàn)性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問(wèn)題;然后用基于正交化的再生核方法來(lái)求解轉(zhuǎn)化后的線(xiàn)性中立型多比例延遲微分方程周期邊值問(wèn)題。另外,該方法還引入一個(gè)參數(shù)來(lái)調(diào)節(jié)收斂區(qū)間。其次,提出求解具有分段連續(xù)項(xiàng)的延遲微分方程的分段再生核方法,通過(guò)該方法得到的解在整個(gè)求解區(qū)間上連續(xù),這也是與現(xiàn)存的離散型方法不同的地方。最后,給出了求解奇異攝動(dòng)多比例延遲微分方程邊值問(wèn)題的數(shù)值方法,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化成邊界層問(wèn)題和正則區(qū)間問(wèn)題,結(jié)合漸近展開(kāi)技術(shù)和