2017第34屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題和答案

1、第 34 屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題解答 屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題解答2017 2017 年 9 月 16 16 日一、 （40 分）一個半徑為 、質量為 的均質實心小圓柱被置于 r m一個半徑為 、質量為 的薄圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸 R M均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為 。試在下述兩種 g情形下，求小圓柱質心在其平衡位置附近做微振動的頻率： （1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無滑滾動；

2、 （2）圓筒可繞其固定的光滑中心細軸轉動，小圓柱仍在圓筒內(nèi) 底部附近作無滑滾動。解： （1）如圖， 為在某時刻小圓柱質心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾 ?角。小圓柱受三個力作用：重力，圓筒對小圓柱的支持力和靜摩擦力。設圓筒對小圓柱的 靜摩擦力大小為 ，方向沿兩圓柱切點的切線方向（向右為正） ?？紤]小圓柱質心的運 F動，由質心運動定理得① sin F mg ma ? ? ?式中， 是小圓柱質心運動的加速度。由于小圓柱與圓筒間

3、作無 a滑滾動，小圓柱繞其中心軸轉過的角度 （規(guī)定小圓柱在最低 1 ?點時 ）與 之間的關系為 1 0 ? ? ?② 1 ( ) R r ? ? ? ? ?由②式得， 與 的關系為 a ?③2 212 2 ( ) d d a r R r dt dt? ? ? ? ?考慮小圓柱繞其自身軸的轉動，由轉動定理得④212d rF I dt? ? ?式中， 是小圓柱繞其自身軸的轉動慣量 I⑤ 2 12 I mr ?由①②③④⑤式及小角近似⑥ si

4、n? ? ?得⑦222 0 3( )? ? ? ? ?d gdt R r由⑦式知，小圓柱質心在其平衡位置附近的微振動是簡諧振動，其振動頻率為⑧ 1π 6( )g f R r ? ?（2）用 表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小， 和 分別為小圓柱與圓筒轉過的 F 1 ? 2 ?角度（規(guī)定小圓柱相對于大圓筒向右運動為正方向，開始時小圓柱處于最低點位置 ） 。對于小圓柱，由轉動定理得 1 2 0 ? ? ? ?⑨22 1212? ? ? ?

5、 ? ? ? ? ?d Fr mr dt對于圓筒，同理有⑩22 22 ( ) ? ? d FR MR dtR??1R解： （1）由題設，彗星的運動軌道為拋物線，故① 1, 0 E ? ? ?彗星繞太陽運動的軌道方程為：② 1 cosk r ? ? ?彗星繞太陽運動過程中，機械能守恒③ ? ?2221 0 2 2L mr V r E mr ? ? ? ? &式中④ ? ? Mm V r G r ? ?當彗星運動到近日點 A 時

6、，其徑向速度為零，設其到太陽的距離為 ，由③式得 min r⑤ ? ?2min 2 min min 2L Mm V r G mr r ? ? ?由⑤式和題給條件得⑥2Emin 2 2 3L R r GMm ? ?由③式得22 22 dr GM Ldt r m r ? ?或 ⑦22 22dr dtGM Lr m r??設彗星由近日點 A 運動到與地球軌道的交點 C 所需的時間為 ，對⑦式兩邊積分，并利 t ?用⑥式得⑧E EEmin 23

7、 E2 212 23R RR rdr rdr tGM R GM L rr m r? ? ?? ?? ?對⑧式應用題給積分公式得 ⑨EE 3 E3/2 1/2E E EE E3 2 E1231 2 23 3 3 3 210 327RR rdr tGM R rR R R R RGMRGM? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???由對稱性可知，彗星兩次穿越地球軌道所用的時間間隔為⑩3 2