第30屆全國中學生物理競賽復賽考試試題解答與評分標準

1、1第30屆全國中學生物理競賽復賽考試試題解答與評分標準一、（一、（15分）分）一半徑為R、內(nèi)側(cè)光滑的半球面固定在地面上，開口水平且朝上。一小滑塊在半球面內(nèi)側(cè)最高點處獲得沿球面的水平速度，其大小為v0（v0≠0）。求滑塊在整個運動過程中可能達到的最大速率。重力加速度大小為g。參考解答：參考解答：以滑塊和地球為系統(tǒng)，它在整個運動過程中機械能守恒.滑塊沿半球面內(nèi)側(cè)運動時，可將其速度分解成緯線切向（水平方向）分量及經(jīng)v?v線切向分量.設(shè)滑塊質(zhì)量

2、為，在某中間狀態(tài)時，滑塊位于半球面?vm內(nèi)側(cè)處，和球心的連線與水平方向的夾角為.由機械能守恒PPO?得（1）2220111sin222mmgRmm???????vvv這里已取球心處為重力勢能零點.以過的豎直線為軸.球面對滑塊的支持力通過該軸，力矩為OO零；重力相對于該軸的力矩也為零.所以在整個運動過程中，滑塊相對于軸的角動量守恒，故.（2）0cosmRmR???vv由（1）式，最大速率應與的最大值相對應?.（3）maxmax()??vv

3、而由（2）式，不可能達到.由（1）和（2）式，的最大值應與相對應，即?π2?0??v.max()0???v（4）[（4）式也可用下述方法得到：由（1）、（2）式得.22202sintan0gR??????vv若，由上式得sin0??.220sin2cosgR???v實際上，也滿足上式。由上式可知sin=0?.max22max0sin2cosgR???v由（3）式有.（4’）222maxmax0max()2sintan0gR???????

4、vv]將代入式（1），并與式（2）聯(lián)立，得max()0???v.（5）??2220maxmaxmaxsin2sin1sin0gR??????v以為未知量，方程（5）的一個根是，即，這表示初態(tài)，其速率為最小值，maxsin?sin??0??0不是所求的解.于是.約去，方程（5）變?yōu)閙axsin0??maxsin?.（6）22max0max2sinsin20gRgR?????v其解為0vO?PCommented[fj1]:2013大連Com

5、mented[fj2]:第30屆全國復賽13（6）221022428lrFtmlr????v方向與方向相同.0v以B、C、D為系統(tǒng)，設(shè)其質(zhì)心離轉(zhuǎn)軸的距離為，則x.（7）22(2)2mrmllrxm????????質(zhì)心在碰后瞬間的速度為.（8）C0224(2)(2)(8)llrxrlr??????vvv軸與桿的作用時間也為，設(shè)軸對桿的作用力為，由質(zhì)心運動定理有t?2F.（9）??210224(2)28llrFtFtmmlr????????

6、?vv由此得.（10）2022(2)28rlrFtmlr????v方向與方向相同.因而，軸受到桿的作用力的沖量為0v（11）2022(2)28rlrFtmlr??????v方向與方向相反.注意：因彈簧處在拉伸狀態(tài)，碰前軸已受到沿桿方向的作用力；在碰撞過程0v中還有與向心力有關(guān)的力作用于軸.但有限大小的力在無限小的碰撞時間內(nèi)的沖量趨于零，已忽略.[代替（7）（9）式，可利用對于系統(tǒng)的動量定理.]21CDFtFtmm?????vv[也可由對

7、質(zhì)心的角動量定理代替（7）（9）式.]2.值得注意的是，（1）、（2）、（3）式是當碰撞時間極短、以至于彈簧來不及伸縮的條件下才成立的.如果彈簧的彈力恰好提供滑塊C以速度繞過B的軸做勻速圓周運動的向心02248Clrlr??vv力，即（12）??222C022216(8)lrkrmmrlr?????vv則彈簧總保持其長度不變，（1）、（2）、（3）式是成立的.由（12）式得碰前滑塊A的速度0v應滿足的條件（13）??220(8)4krl

8、rlmr????v可見，為了使碰撞后系統(tǒng)能保持勻速轉(zhuǎn)動，碰前滑塊A的速度大小應滿足（13）式.0v評分標準評分標準：本題20分.第1問16分，（1）式1分，（2）式2分，（3）式2分，（4）式2分，（5）式2分，（6）式1分，（7）式1分，（8）式1分，（9）式2分，（10）式1分，（11）式1分；第2問4分，（12）式2分，（13）式2分.三、（三、（25分）分）一質(zhì)量為m、長為L的勻質(zhì)細桿，可繞過其一端的光滑水平軸O在豎直平面內(nèi)自由