分數(shù)階Laplace算子的譜理論及其在微分方程中的應(yīng)用.pdf

1、本文主要研究帶權(quán)函數(shù)的分數(shù)階Laplace算子的譜理論,作為分數(shù)階Laplace算子譜理論的應(yīng)用,我們建立了分數(shù)階Laplacian擾動問題的單側(cè)全局分歧現(xiàn)象并考慮了分數(shù)階非線性問題定號解的存在性。本文具體由以下五部分內(nèi)容組成:
　　首先介紹了分數(shù)階微分方程的發(fā)展現(xiàn)狀、本文的主要工作、分數(shù)階Laplace算子的定義、分數(shù)階導數(shù)和積分的定義及其一些基本性質(zhì).
　　其次運用 Ljusternik-Schnirelmann理論研究

2、了分數(shù)階 Laplace線性微分算子的特征值和特征函數(shù),尤其證明了第一個特征值λ1是簡單和孤立的.為了應(yīng)用的方便,緊接著考慮了分數(shù)階Laplace算子擾動問題的單側(cè)全局分歧定理.假設(shè)擾動函數(shù)g滿足一些自然的增長條件,我們得到(λ1,0)是問題(此處公式省略)的分歧點.并且存在從(λ1,0)分歧出的無界連通分支C,它由兩個無界的子連通分支 C+和 C?組成.基于上面的單側(cè)全局分歧定理,我們又研究了一類非線性分數(shù)階微分方程定號解的存在性。這

3、些譜理論和定號解的存在性結(jié)果部分地推廣了 Servadei等人[Discrete Contin. Dyn. Syst.2013],[J. Math. Anal. Appl.2012]及Fiscella[Topol. Methods Nonlinear Anal.2014]的主要結(jié)果.
　　接著研究了帶不可微非線性項的分數(shù)階微分方程（此處公式省略）的單側(cè)全局分歧結(jié)構(gòu),我們分別討論了從平凡解線和無窮遠處產(chǎn)生的分歧.首先得到了從區(qū)間[λ

4、1?d,λ1+d]×{0}分歧出一個無界的連通分支C,它由兩條無界的子連通分支C+和C?組成.其次證明了從區(qū)間[λ1?dˉ,λ1+dˉ]×{+∞}分歧出一個無界的連通分支D,它也由兩個無界的子連通分支D+和D?組成,其中λ1是相應(yīng)線性分數(shù)階 Laplace微分算子的主特征值。d。dˉ是正常數(shù).基于該單側(cè)全局區(qū)間分歧理論,我們獲得了分數(shù)階半線性算子主半特征值的存在性,進一步研究了一類分數(shù)階非線性問題定號解的存在性。這一章的主要結(jié)果把帶有不

5、可微非線性項的古典橢圓微分方程的單側(cè)全局區(qū)間分歧定理推廣到分數(shù)階情形,并獲得了分數(shù)階半線性特征值問題主半特征值的存在性。這些結(jié)果在分數(shù)階情形下是新的.
　　然后運用拓撲度和Rabinowitz全局分歧定理,研究了分數(shù)階兩點邊值問題（此處公式省略）正解解集連通分支的全局結(jié)構(gòu),其中 R Dα0+表示α∈(1,2]階Riemann-Liouville分數(shù)階導數(shù),λ>0是一實參數(shù).本章的主要結(jié)果推廣并改進了 Bai et al[J. Ma

6、th. Anal. Appl.2005]的主要結(jié)果.
　　最后討論了分數(shù)階微分包含問題（此處公式省略）解的存在性,其中0D?βx和 xD?β1分別表示β∈(0,1)階左和右Riemann-Liouville積分,0