非線性Volterra積分微分方程及分?jǐn)?shù)階微分方程的譜配置法.pdf

1、譜方法是求解微分方程的一種重要數(shù)值方法，己被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程問題的數(shù)值模擬中。譜方法的主要優(yōu)點(diǎn)是計算的高精度，也就是所謂的”無窮階”收斂性，即真解越光滑，譜方法的收斂速度越快。Volterra型積分微分方程和分?jǐn)?shù)階微分方程等都具有記憶性質(zhì)，在物理、生物、激光以及人口增長等模型中得到廣泛應(yīng)用，相關(guān)的數(shù)值研究正日益受到重視，并己成為該領(lǐng)域的一個新熱點(diǎn)，而譜方法是一種整體方法，非常適合該類問題的數(shù)值模擬?，F(xiàn)有的針對Volterra型積分、

2、微分方程譜方法的研究主要基于單步格式，并不適合奇性解或長時間的計算。此外，所研究的問題主要是線性的或僅討論光滑解情形，而實際問題大多是非線性的且解呈弱奇異性的。因此本文主要工作之一是研究帶弱奇異核的非線性Volterra型積分微分方程的多步譜方法。我們建立了相關(guān)問題的多步譜配置格式，并對所提算法進(jìn)行了誤差分析，數(shù)值結(jié)果表明該方法對光滑解和弱奇性解的模擬都非常有效。對于非線性Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題，本文將在前人的基礎(chǔ)上提出

3、一種新的譜配置法。為了適應(yīng)分?jǐn)?shù)階方程的整體性特點(diǎn)，并克服非線性項的存在所造成的理論分析的困難，我們采用兩種多項式插值，即Legendre-Gauss與Jacobi-Gauss插值，構(gòu)造相應(yīng)的Legendre-Jacobi單步譜配置法，并分析了該算法的數(shù)值誤差。數(shù)值算例驗證了該算法的有效性。
　　本研究分為四個部分：第一章回顧了譜方法的基本思想及發(fā)展概況，介紹了Volterra積分微分方程與Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程的問題背景及數(shù)

4、值方法的研究進(jìn)展。第二章介紹了與本文工作相關(guān)的基礎(chǔ)知識：Jacobi多項式及其插值誤差，移位Jacobi多項式，移位Legendre多項式及其插值誤差，并給出了本文工作所需的幾個重要引理。第三章對帶有弱奇異核的非線性Volterra積分微分方程提出了一個結(jié)構(gòu)簡單、容易實現(xiàn)的算法，然后詳細(xì)地分析了多步譜配置格式的收斂性，獲得了該方法在丑1范數(shù)下的hp型誤差估計，最后通過數(shù)值算例展示了該方法的高效性。第四章考察了Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程