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文檔簡介
1、譜方法是求解微分方程的一種重要數(shù)值方法,己被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程問題的數(shù)值模擬中。譜方法的主要優(yōu)點(diǎn)是計算的高精度,也就是所謂的”無窮階”收斂性,即真解越光滑,譜方法的收斂速度越快。Volterra型積分微分方程和分?jǐn)?shù)階微分方程等都具有記憶性質(zhì),在物理、生物、激光以及人口增長等模型中得到廣泛應(yīng)用,相關(guān)的數(shù)值研究正日益受到重視,并己成為該領(lǐng)域的一個新熱點(diǎn),而譜方法是一種整體方法,非常適合該類問題的數(shù)值模擬?,F(xiàn)有的針對Volterra型積分、
2、微分方程譜方法的研究主要基于單步格式,并不適合奇性解或長時間的計算。此外,所研究的問題主要是線性的或僅討論光滑解情形,而實際問題大多是非線性的且解呈弱奇異性的。因此本文主要工作之一是研究帶弱奇異核的非線性Volterra型積分微分方程的多步譜方法。我們建立了相關(guān)問題的多步譜配置格式,并對所提算法進(jìn)行了誤差分析,數(shù)值結(jié)果表明該方法對光滑解和弱奇性解的模擬都非常有效。對于非線性Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題,本文將在前人的基礎(chǔ)上提出
3、一種新的譜配置法。為了適應(yīng)分?jǐn)?shù)階方程的整體性特點(diǎn),并克服非線性項的存在所造成的理論分析的困難,我們采用兩種多項式插值,即Legendre-Gauss與Jacobi-Gauss插值,構(gòu)造相應(yīng)的Legendre-Jacobi單步譜配置法,并分析了該算法的數(shù)值誤差。數(shù)值算例驗證了該算法的有效性。
本研究分為四個部分:第一章回顧了譜方法的基本思想及發(fā)展概況,介紹了Volterra積分微分方程與Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程的問題背景及數(shù)
4、值方法的研究進(jìn)展。第二章介紹了與本文工作相關(guān)的基礎(chǔ)知識:Jacobi多項式及其插值誤差,移位Jacobi多項式,移位Legendre多項式及其插值誤差,并給出了本文工作所需的幾個重要引理。第三章對帶有弱奇異核的非線性Volterra積分微分方程提出了一個結(jié)構(gòu)簡單、容易實現(xiàn)的算法,然后詳細(xì)地分析了多步譜配置格式的收斂性,獲得了該方法在丑1范數(shù)下的hp型誤差估計,最后通過數(shù)值算例展示了該方法的高效性。第四章考察了Caputo型分?jǐn)?shù)階微分方程
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