分?jǐn)?shù)階偏微分方程數(shù)值算法及其在力學(xué)中的應(yīng)用.pdf

1、近年來，分?jǐn)?shù)階微積分理論和方法被廣泛應(yīng)用于科學(xué)和工程中的各個領(lǐng)域。分?jǐn)?shù)階微積分提供了強有力的工具來描述各種各樣的材料和過程中的記憶和繼承性質(zhì)。
　　本文主要研究幾類時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值計算方法及分?jǐn)?shù)階微積分理論與數(shù)值方法在力學(xué)中的一些應(yīng)用。首先，對二維非線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)次擴散方程，我們提出兩種緊致有限差分格式，并用傅里葉分析方法給出了這兩種格式的穩(wěn)定性和收斂性的理論分析。其次，對加熱下廣義二階流體分?jǐn)?shù)階Stokes第一問題，我

2、們提出一種數(shù)值參數(shù)估計方法來估計Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階。第三，對二維分?jǐn)?shù)階Cable方程，我們提出一種空間四階的緊致有限差分格式，用傅里葉分析方法給出了穩(wěn)定性和收斂性的理論證明。對于反問題，我們提出一種數(shù)值參數(shù)估計方法，給出了兩個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階的最優(yōu)估計。第四，在腫瘤熱療實驗中，我們構(gòu)建了雙層球形組織的一個時間分?jǐn)?shù)階熱波模型，采用隱式差分方法，給出了模型的數(shù)值解。對于反問題，借助于熱療實驗數(shù)據(jù)，我們提出一種非線

3、性參數(shù)估計方法，給出了未知分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和松弛時間參數(shù)的最優(yōu)估計。最后，對鈉離子跨腸壁的輸運過程，我們建立了一個在濃度梯度和電勢梯度共同作用下的空間分?jǐn)?shù)階反常擴散模型，用有限差分方法得到了該問題的數(shù)值解，并對鈉離子跨腸壁輸運過程中的濃度變化進行了分析。具體來說:
　　第一章，我們首先給出了關(guān)于分?jǐn)?shù)階微積分歷史發(fā)展?fàn)顩r的一些簡單介紹;其次，我們介紹了求解時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的幾種數(shù)值方法以及本文中涉及的幾類分?jǐn)?shù)階算子的定義;最后，我們簡

4、單介紹了本文的主要研究工作。
　　第二章，我們研究了二維非線性分?jǐn)?shù)階反應(yīng)次擴散方程:(e)u/(e)t=0D1-γt[K1(e)2u/(e)x2+K2(e)2u/(e)y2+f(u，x，y，t)]+g(u，x，y，t)，0≤x，y≤L，0≤t≤T，其中，非線性源項g(u，x，y，t)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(e)2g(u,x,y,t)/(e)t2，且關(guān)于u滿足Lips-chitz條件，即|g（u1，x，y，t)-g（u2，x，y，t)|≤

5、Lg|u1-u2|，(V) u1，u2.首先，我們構(gòu)建了一種時間一階、空間四階的緊致有限差分格式:對方程兩邊關(guān)于時間積分，利用Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分的定義、四階緊致差分格式近似空間二階導(dǎo)數(shù)以及梯形公式近似非線性源項。我們用傅里葉分析的方法證明了該緊致有限差分格式的穩(wěn)定性和收斂性。數(shù)值算例驗證了我們的理論分析。其次，我們利用線性插值技術(shù)，構(gòu)建了一種時間二階、空間四階的緊致有限差分格式，并用傅里葉分析的方法給出了該緊致

6、有限差分格式穩(wěn)定和收斂的條件。數(shù)值算例驗證了該算法的精度和有效性。
　　第三章，我們研究了加熱下廣義二階流體分?jǐn)?shù)階Stokes第一問題(e)u(x，t)/(e)t=（v+η0D1-γt）(e)2u(x,t)/(e)x2+f(x,t),0≤x≤L，0≤t≤T，0＜γ＜1.我們提出一種數(shù)值方法來估計Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階。首先，對于正問題，我們采用隱式數(shù)值方法來求解。對于反問題，我們借助于digamma函數(shù)，

7、先求得分?jǐn)?shù)階敏感方程:(e)Jγ/(e)t=η0D1-γt((e)2Jγ/(e)x2)+v(e)2Jγ/(e)x2+Source，其中Source=η(τ)γ-1ln(τ)(δ2xukj/h2）+η(τ)γ-1k∑m=1λm×[ln(τ)-ψ(2-γ)+ψ（γ+m-1）-πcotπ(2-γ-m)](δ2xuk-mj/h2)+(e)f/(e)γ.進而引進Levenberg-Marquardt迭代算法來估計未知的Riemann-Liouvi

8、lle分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階。為了驗證算法的有效性，我們給出了在測量值是否包含隨機測量誤差兩種情形下的估計問題的解，并討論了各個初始參數(shù)值的選取對估計結(jié)果的影響。數(shù)值算例表明，我們提出的數(shù)值算法對于估計Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階是有效的。
　　第四章，我們研究二維分?jǐn)?shù)階Cable方程:(e)u/(e)t=0D1-γ1t(K1(e)2u/(e)x2+K2(e)2u/(e)y2）-μ20D1-γ2u+f（x，y，t），（

9、x，y)∈Ω，0≤t≤T.我們研究了二維分?jǐn)?shù)階Cable方程中兩個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階的估計問題。對于正問題，我們提出一種空間四階的緊致有限差分格式，并用傅里葉分析的方法給出了該緊致有限差分格式穩(wěn)定性和收斂性的理論證明。對于反問題，我們首先求得了分?jǐn)?shù)階敏感矩陣，進而引入Levenberg-Marquardt迭代方法，給出了兩個分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階的最優(yōu)估計，并討論了各個初始參數(shù)值的選取對估計結(jié)果的影響。數(shù)值算例驗證了我們的算法的有效性。
　　

10、第五章，針對雙層球形組織，我們構(gòu)建了一個時間分?jǐn)?shù)階熱波模型，它包含腫瘤內(nèi)(0≤r≤R)和健康組織(R＜r≤a)的熱傳導(dǎo)，方程如下:ρ1c1((e)T1/(e)t+(τ)α1(e)1+αT1/(e)t1+α）=k1/r2(e)/(e)r(r2(e)T1/(e)r)+Q，0≤r≤R，0＜α≤1，ρ2c2((e)T2/(e)t+(τ)α2(e)1+αT2/(e)t1+α）=k2/r2(e)/(e)r(r2(e)T2/(e)r),R＜r≤a.采

11、用隱式差分方法，我們給出了上述時間分?jǐn)?shù)階熱波模型的數(shù)值解。對于反問題，借助于熱療實驗數(shù)據(jù)，我們采用非線性參數(shù)估計方法，給出了未知分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和松弛時間參數(shù)的最優(yōu)估計，并討論了各個初始參數(shù)值的選取對估計結(jié)果的影響。數(shù)值實驗結(jié)果表明:我們提出的時間分?jǐn)?shù)階熱波模型對于模擬熱療試驗中的熱傳導(dǎo)行為是比較適合的，并且我們提出的數(shù)值參數(shù)估計方法對于估計復(fù)合介質(zhì)中分?jǐn)?shù)階熱波模型中的參數(shù)是有效的。
　　第六章，我們基于分?jǐn)?shù)階微積分理論，利用分?jǐn)?shù)階Fi

12、ck定律，研究了在濃度梯度和電勢梯度的共同作用下，鈉離子跨腸壁的反常輸運問題，建立了帶有Riemann-Liouville空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的反常輸運模型，并用有限差分方法得到了該問題的數(shù)值解。我們研究了在跨腸壁輸運過程中，細(xì)胞內(nèi)外兩層鈉離子的濃度以及毛細(xì)血管處鈉離子的平均濃度隨時間變化的過程，并根據(jù)各個不同參數(shù)的不同取值，描繪出了鈉離子濃度變化的不同趨勢;也討論了空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的階在取不同數(shù)值的變化過程中，鈉離子濃度曲線的變化過程以及鈉離