分數(shù)階微分方程的理論分析與數(shù)值計算.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、分數(shù)階微積分已有很長的歷史,早在1695年,Leibnitz給L’Hspital的一封信中就提到了分數(shù)階微分的概念,Leibnitz寫到:“這會導致悖論,不過總有一天會得到有用的結(jié)果.”早期對分數(shù)階微積分有貢獻的數(shù)學家包括Liouville、Riemann、Holmgrem.在近三個世紀里,對分數(shù)階微積分理論的研究主要在數(shù)學的純理論領(lǐng)域里進行,似乎它只對數(shù)學家們有用.然而在近幾十年里,許多學者指出分數(shù)階微積分非常適合于刻畫具有記憶和遺傳

2、性質(zhì)的材料和過程,在經(jīng)典模型中這些性質(zhì)常常是被忽略的。如今,分數(shù)階微分方程越來越多的被用來描述光學和熱學系統(tǒng)、流變學及材料和力學系統(tǒng)、信號處理和系統(tǒng)辨識、控制和機器人及其他應用領(lǐng)域中的問題。 該論文共有五章,主體可分為三部分,其中第一部分由第二和第三章組成,是對分數(shù)階常微分方程做理論分析,第四章為論文的第二部分,研究對一般分數(shù)階常微分方程及分數(shù)階的Fokker-Planck方程(它是一種典型的分數(shù)階偏微分方程)的數(shù)值計算,最后一

3、章為分數(shù)階微分方程的應用,即實現(xiàn)分數(shù)階系統(tǒng)的廣義同步與多卷波生成。 更具體的說,第一章簡要地回顧分數(shù)階微積分的幾種定義并分析和比較它們的一些性質(zhì). 第二章通過應用Laplace變換的技術(shù),得到了多時滯線性分數(shù)階常微分方程的特征方程,進而給出了多時滯線性分數(shù)階常微分方程的一般性的穩(wěn)定性判據(jù),并將這些結(jié)果應用于同步,同時分析了分數(shù)階常微分方程解的可微性,最后給出了非線性分數(shù)階常微分方程解的Mittag-Leffler表示。

4、 第三章討論了將多階分數(shù)階常微分方程轉(zhuǎn)化為同階分數(shù)階常微分方程的可能性,并給出了多階分數(shù)階常微分方程的穩(wěn)定性結(jié)果。 在第四章中,首先改進了數(shù)值求解分數(shù)階常微分方程的預估校正法,然后從一個新的觀點去理解分數(shù)階微積分的短記憶原理,將預估校正法的思想與短記憶原理結(jié)合起來對分數(shù)階常微分方程進行數(shù)值求解,并給出了詳細的誤差分析。同時利用Riemann-Liouville和Caputo導數(shù)的性質(zhì),將分數(shù)階Fokker-Planck方程

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