時(shí)滯微分方程的周期正解及其在種群模型中的應(yīng)用.pdf

1、常微分方程是近代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科分支，隨著現(xiàn)代化社會(huì)的發(fā)展，無(wú)論是在工程、宇航、生態(tài)等自然科學(xué)領(lǐng)域還是在經(jīng)濟(jì)、金融等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，都有著廣泛的應(yīng)用．然而在現(xiàn)實(shí)世界中，眾多系統(tǒng)未來(lái)的狀態(tài)不僅依賴(lài)于目前的狀態(tài)而且還依賴(lài)于過(guò)去某個(gè)時(shí)刻或某段時(shí)間內(nèi)的狀態(tài)．從而，利用常微分方程來(lái)描述這類(lèi)事物的發(fā)展變化過(guò)程，只是對(duì)其真實(shí)情況的近似處理．為了更準(zhǔn)確地刻劃這些實(shí)際問(wèn)題，用時(shí)滯微分方程作為數(shù)學(xué)模型更符合其本質(zhì)屬性．因而有關(guān)時(shí)滯微分方程的研究無(wú)論在理論上

2、還是在應(yīng)用上都具有非常重要的意義。此外，常微分方程的周期解的存在性及穩(wěn)定性問(wèn)題是一個(gè)很有意義的研究課題．它體現(xiàn)了一種結(jié)構(gòu)平衡性和穩(wěn)定性，在核物理學(xué)、電路信號(hào)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、流行病學(xué)和控制論等領(lǐng)域都有著很重要的意義．同樣地，時(shí)滯微分方程的周期解的存在性及穩(wěn)定性問(wèn)題也具有非常大的研究?jī)r(jià)值．特別地，在種群動(dòng)力學(xué)中，種群受到環(huán)境變化的影響，尤其是周期性變化的環(huán)境(如氣候、食物等)的影響，因而種群動(dòng)力學(xué)中的數(shù)學(xué)模型可以假設(shè)其中一些變量具有周期性．

3、自然地，這些模型的周期解存在性及其穩(wěn)定性成為眾多學(xué)者的研究對(duì)象． 本文將對(duì)時(shí)滯微分方程周期正解的存在性和穩(wěn)定性及其在種群模型中的應(yīng)用進(jìn)行深入系統(tǒng)的研究。 第一章，首先介紹了時(shí)滯微分方程的研究意義和現(xiàn)狀，特別總結(jié)了有關(guān)時(shí)滯微分方程與中立型時(shí)滯微分方程的周期解存在性的研究方法與已有結(jié)果的局限性。另外，本章還介紹了本文的主要工作、內(nèi)容安排以及一些預(yù)備知識(shí)。 第二章，利用一個(gè)關(guān)于減算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了Lasota-W

4、azewska模型的唯一ω-周期正解、x的存在性條件．特別地，本章不僅給出了收斂于該周期正解x的迭代函數(shù)列{x<,n>)，還利用任意正解與該周期正解x的差的振動(dòng)性，證明了x的全局吸引性．即，給出了該周期正解x的近似表示．進(jìn)而使得本章的結(jié)果具有較大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。與已有文獻(xiàn)相比較，本章的結(jié)果更加易于驗(yàn)證。 第三章，利用一個(gè)關(guān)于減算子的不動(dòng)點(diǎn)定理，給出了血液細(xì)胞生成模型的唯一ω-周期正解x的存在性條件．此外，本章不僅給出了收斂于該周

5、期正解x的迭代函數(shù)列{x<,n>)，還利用任意正解與x的差的振動(dòng)性以及該周期正解的性質(zhì)，證明了x的全局吸引性．即，給出了該周期正解x的近似表示．進(jìn)而使得本章的結(jié)果具有較大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值．與已有文獻(xiàn)相比較，本章的結(jié)果更加易于驗(yàn)證。 第四章，首先應(yīng)用錐理論和非緊性測(cè)度(Kuratowski)理論，證明了一個(gè)關(guān)于嚴(yán)格集壓縮映象的不動(dòng)點(diǎn)定理，進(jìn)而改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)中的已有結(jié)果．然后利用此不動(dòng)點(diǎn)定理研究更一般的中立型時(shí)滯微分方程獲得該方程存在

6、ω- 周期正解的一個(gè)易于證實(shí)的充分條件．進(jìn)一步將此結(jié)果應(yīng)用于下列中立型時(shí)滯微分方程改進(jìn)了相應(yīng)文獻(xiàn)的已有結(jié)果，并給予公開(kāi)問(wèn)題(Open problem 9.2[19])一個(gè)明確的答復(fù)．可以看出，利用本章所證明的不動(dòng)點(diǎn)定理來(lái)研究中立型時(shí)滯微分方程的周期解存在性問(wèn)題，是一個(gè)較好的方法。 第五章，應(yīng)用一個(gè)關(guān)于嚴(yán)格集壓縮映象的不動(dòng)點(diǎn)定理，研究了中立型時(shí)滯 Lotka-Volterra 系統(tǒng)獲得了該系統(tǒng)存在ω-周期正解的一個(gè)充分條件．與已有