分數階導數的推廣與分數階亞當斯方法的誤差分析.pdf

1、自1695年9月30日提出分數階微積分以來，它已被證實為是非常有用的。在現實中，應用科學家和工程師認識到分數階微分方程為用分數階方程建模的各種問題的討論提供了自然框架，如粘彈性系統(tǒng)，電極-電解質極化作用，電化學，信號處理，擴散過程，控制過程等等。特別是在近幾十年中，由于在科學和工程中應用中的潛力，分數階微積分和分數階微分方程吸引了越來越多的注意和興趣。 本論文主要由三章組成。第一章主要介紹分數階微積分的基礎知識，然后討論了非線性

2、分數階微分方程解的漸近穩(wěn)定性。我們這本論文的中心內容是第二章和第三章。在第二章中，我們介紹了定義在復平面上的Ortigueira導數，并且深入研究了它的性質，然后我們把在實直線上的Caputo導數推廣到復平面上，并且討論了它的性質．在第三章中我們考察了非線性分數階微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的數值解的方法，該方程有初始條件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，其中α可為任意正數，微分算子是Caput

3、o導數。 詳細地說，第一章我們簡單回顧了三類分數階導數的定義和深入介紹了它們的性質，即Grunwald-Letnikov導數，Riemann-Liouville導數，Caputo導數。我們還簡單回顧了分數階微分方程解的存在性和唯一性定理。此外，我們在本章中建立了關于分數階微分方程的比較定理，并且給出了非線性分數階微分方程解的漸近穩(wěn)定性定理。 第二章我們首先遵循定義在復平面上的從分數階差分到分數階導數的方法，得到了著名的柯

4、西積分。其次，我們在Hankel圍道積分的幫助下分析了推廣的柯西積分，從而給出了Ortigueira導數的概念，我們還深入研究了它的一些有意義的性質。最后，我們把實直線上的Caputo導數推廣到復平面上，并且研究了它的性質，并計算了該導數的傅立葉變換和拉普拉斯變換。特別地，我們陳述了具有Riemann-Liouville分數階導數和Caputo分數階導數的微分方程的初值問題。這些問題的討論有助于理解這些定義和分數階問題的建模。

5、第三章我們考察了關于非線性分數階微分方程cDα0,ty(t)=f(t,y(t))的數值解，該方程帶有初始條件y(k)(0)=y(k0)，k=0，1，…，[α]-1，這里的α可為任意正數，微分算子是Caputo導數。在本章中，我們首先給出了分數階Adams數值方法，接著我們列舉和證明了一些很有用的結果[5]，最后我們深入研究了該方法在其它條件下分數階微分方程的誤差分析。具體地說我們認真地研究了情形，f∈C3(G)，0<α<1和f∈C2(G