外文翻譯-分數(shù)階導數(shù)

1、0譯文：譯文：分數(shù)階導數(shù)的兒童樂園MarciaKleinzThomasJ.Osler大學數(shù)學學報（美國），2000年3月，31卷，第2期，第8288頁1引言我們都熟悉的導數(shù)的定義。通常記作這些都是很容1()()dfxDfxdx或222()()dfxDfxdx或易理解的。我們同樣也熟悉一些有關導數(shù)的性質，例如但[()()]()()DfxfyDfxDfy???是像這樣的記號又代表什么意思呢？大多數(shù)的讀者之前肯定沒有遇到121212()D()

2、dfxfxdx或者過導數(shù)的階數(shù)是12的。因為幾乎沒有任何教科書會提到它。然而，這個概念早在18世紀，Leibnitz已經開始探討。在之后的歲月里，包括L’HospitalEulerLagrangeLaplaceRiemannFourierLiouville等數(shù)學大家和其他一些數(shù)學家也出現(xiàn)過或者研究過的概念?，F(xiàn)在，關于“分數(shù)微積分”的文獻已經大量存在。近期關于“分數(shù)微積分”的兩本研究生教材也出版了，就是參考文獻[9]和[11]。此外，兩篇

3、在會議上發(fā)表的論文[7]和[14]也被收錄。Wheeler在文獻[15]已編制了一些可讀性較強，較易理解的資料，雖然這些都還沒有正式出版。本論文的目的是想用一種親和的口吻去介紹分數(shù)階微積分。而不是像平常教科書里面的從定義引理定理的方法介紹它。我們尋找了一個新的想法去介紹分數(shù)階導數(shù)。首先我們從熟悉的n階導數(shù)的例子開始，比如。然后用其他數(shù)字取代自然數(shù)字n。這種方式，Dnaxnaxeae?感覺像是偵探一樣，步步深入。我們將尋求蘊含在這個構思里

4、面的數(shù)學結構。我們在探討了各種思路，對分數(shù)階導數(shù)的概念后，才對分數(shù)階導數(shù)給出正式定義。（如果想快速瀏覽它的正式定義，請參見米勒的優(yōu)秀論文，參考文獻[8]。）隨著探究的深入，我們會不時地讓讀者去思考一些問題。對這些問題的答案將在本文的最后一節(jié)呈現(xiàn)。那到底什么是一個分數(shù)階導數(shù)呢？讓我們一起來看看吧……2指數(shù)函數(shù)的分數(shù)階導數(shù)我們將首先研究指數(shù)函數(shù)的導數(shù)。因為他們導數(shù)的形式，比較容易推廣。我們熟悉axe的導數(shù)的表達式。，在一般情況下，當n為整a

5、xe12233axaxaxaxaxaxDeaeDeaeDeae???數(shù)時，。那么我們能不能用12取代n，并記作呢？我們何不naxnaxDeae?1212axaxDeae?嘗試一下？為什么不更進一步，讓n是一個無理數(shù)或者復數(shù)比如1i？我們大膽地寫作（1）axaxDeae???，對任意一個，無論是整數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)，還是復數(shù)。當是負整數(shù)時，考慮（1）??74的導數(shù)px我們現(xiàn)在看看x次方的導數(shù)。我們以為例有：px012(1)(1)(2)(1

6、).(3)ppppppnppnDxxDxpxDxppxDxppppnx????????????表達式（3）用連乘的分子和分母去替換，則得到結果如下()!pn?(1)(2)(1)()(1)1!(4)()(1)1()!ppnpnppppnpnpnpxxxpnpnpn??????????????????上式就是的一般表達式。我們通過伽瑪函數(shù)，用任意數(shù)替換正整數(shù)n。當（4）式中npDx?的p和n是不是自然數(shù)時，伽瑪函數(shù)使他們在替換后任然有意義。

7、伽馬函數(shù)是歐拉在18世紀引進的概念。當時是推廣記號，當z不是整數(shù)時。它的定義是，它具有!z10()dtzzett??????這樣的性質。(1)!zz??那么我們可以將表達式（4）重新寫作這使得當n不是整數(shù)式，(1)(1)nppnpDxxpn???????（4）式還是有意義的。所以對于任意的，我們寫作?(1)(5)(1)pppDxxp??????????利用（5）式，我們可以將分數(shù)階導數(shù)延伸到很多的函數(shù)。因為對于任意給定的函數(shù)，我們可以利