分數階Euler-Lagrange方程與空間分數階Schr_dinger方程數值方法.pdf

1、本文研究了三個問題:經典Hamilton系統(tǒng)參數化保能量辛可分Runge-Kutta方法、分數階Euler-Lagrange方程的變分積分子及其在完整約束和積分約束下的推廣、空間分數階非線性耦合Schrodinger方程的守恒差分方法.
　　在第二章,通過W-變換,構造了一類參數化的辛可分Runge-Kutta方法,分析了參數化方法的誤差階和保辛特征,給出了一些例子,包括Lobatto ⅢA-ⅢB方法, RadauⅠA-ⅠAˉ等.

2、特別地,對于可分Hamilton系統(tǒng),給出一個基于顯式辛格式的參數化方法,該方法計算速度比隱式方法快很多,可以用于長時間計算.接著研究了參數化方法能量守恒性,并對基于顯式辛格式的參數化方法中的參數變化范圍提出一個猜想.數值試驗證實了參數化辛可分Runge-Kutta方法可以同時保持Hamilton系統(tǒng)能量和辛幾何特征.最后給出本章總結,并介紹了帶有完整約束的Hamilton系統(tǒng)的保辛保能量問題.
　　在第三章,基于經典變分積分子的

3、思想,構造了分數階Euler-Lagrange方程的變分積分子.首先導出了離散分數階Euler-Lagrange方程,然后給出了一系列分數階變分積分子的例子,分析了分數階變分誤差,數值試驗證實了理論結果,同時表明分數階變分積分子可以有效計算分數階Euler-Lagrange方程.然后我們把獲得的結果推廣到帶有完整約束和不定積分約束的情況.對于這兩種情況,我們也導出了相應的離散分數階Euler-Lagrange方程,構造了相應的變分積分子

4、,分析了變分誤差.數值試驗證實了所獲得理論結果的正確性.最后給出了一些有待解決的問題.
　　在第四章,構造了一類空間分數階非線性耦合Schrodinger方程的兩個守恒差分格式,即線性隱式差分格式和Crank-Nicolson差分格式.這兩種格式都能保持離散概率密度.首先證明了構造的兩種差分格式的代數方程存在唯一解,給出了它們在l2范數下的收斂階,并證明兩種差分格式在時間和空間方向都具有二階精度.數值試驗證實了理論分析結果,同時,