幾類非線性淺水波方程與擴(kuò)散方程解的性質(zhì)研究.pdf

1、在物理學(xué)、化學(xué)、流體力學(xué)和生物學(xué)等諸多實(shí)際領(lǐng)域內(nèi)提出了大量關(guān)于時(shí)間變化的非線性問(wèn)題，這些問(wèn)題在數(shù)學(xué)上往往是通過(guò)一些具有奇異或退化的非線性發(fā)展方程來(lái)描述.本文主要分析來(lái)自于應(yīng)用科學(xué)中的幾類非線性淺水波方程與擴(kuò)散方程(組)解的奇異性質(zhì).全文分為七章:
　　第一章，緒論，主要介紹所研究問(wèn)題的實(shí)際背景和發(fā)展?fàn)顩r，并陳述本文的主要研究?jī)?nèi)容.
　　第二章，考慮一類高階淺水波方程的Cauchy問(wèn)題:yt+auxy+buyx=0其中y:=Λ

2、2ku≡(1-a2x)ku.首先得到了該淺水波方程 Cauchy問(wèn)題的解在 Sobolev空間Hs(R)(s＞7/2)中的局部適定性；在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下，得到該方程存在唯一的全局解；并給出了該方程的解在有限時(shí)刻發(fā)生奇性的充分條件；最后考慮了方程的弱解.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于J. Differential Equations,2011(251):3488-3499.)
　　第三章，研究一類推廣的Camassa-Holm方程的解在發(fā)生波的

3、破裂現(xiàn)象后的一個(gè)延拓.通過(guò)引入一個(gè)新變量(這組新的變量可以解決所有由wave breaking現(xiàn)象引起的奇性)，將原發(fā)展方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)半線性系統(tǒng).通過(guò)該壓縮變換存在不動(dòng)點(diǎn)得到該半線性系統(tǒng)解的局部存在性.由于所得半線性系統(tǒng)的解在發(fā)生碰撞(collision)后還是連續(xù)的，所以可以將原方程的解延拓到發(fā)生wave breaking現(xiàn)象以后，通過(guò)這個(gè)變換給出了當(dāng)能量在幾乎所有時(shí)間內(nèi)都守恒的一個(gè)全局守恒解，還給出了當(dāng)能量耗散時(shí)的一個(gè)耗散解.返回到

4、原方程就得到一個(gè)連續(xù)依賴于初值的全局守恒或耗散解的半群.(本章的主要結(jié)果已被Discrete Contin. Dyn. Syst.接受.)
　　第四章，研究一類具有弱耗散項(xiàng)的高階非線性淺水波方程yt+um+1yx+bumuxy+λy=0，其中λ,b都是常數(shù)，m∈N,y:=(1-a2x)u.該方程包含著名的Camassa-Holm，Degasperis-Procesi和Novikov方程.首先研究了該方程Cauchy問(wèn)題的強(qiáng)解在Be

5、sov空間Bspr(R),(1≤p,r≤+∞，s＞max{1+1/p,3/2})中的局部適定性，在適當(dāng)假設(shè)條件下得到了該方程強(qiáng)解的整體存在性唯一性以及在有限時(shí)刻發(fā)生奇性的充分條件，還研究了該方程強(qiáng)解的持續(xù)性和解析性.其次，雖然該方程的H1(R)可能不再守恒，但當(dāng)u0(x)∈ Hs(R)，‖u0mu0x‖L∞(R)＜∞以及λ=0時(shí)可得該方程的弱解在低階Sobolev空間Hs(R)(1＜s＜3/2)中的局部存在性.最后，考慮了λ=0該方程的

6、整體弱解和尖峰解.(本章的主要結(jié)果已投往Nonlinearity)
　　第五章，考慮一類具有耦合奇異吸收項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程組解的淬滅現(xiàn)象.首先得到了對(duì)任意初值該反應(yīng)擴(kuò)散方程組的解都會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生淬滅，并且驗(yàn)證了淬滅現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，在淬滅點(diǎn)處解關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)爆破；進(jìn)一步，在適當(dāng)假設(shè)條件下，找到了一種用冪指數(shù)來(lái)判定方程組的解是否發(fā)生同時(shí)淬滅的準(zhǔn)則，并給出了冪指數(shù)在不同取值范圍內(nèi)原方程組解的淬滅速率估計(jì)；最后，用數(shù)值試驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了所得結(jié)

7、果.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于Boundary Value Problems,2010，Article ID797182.)
　　第六章，研究一類具有非線性記憶項(xiàng)和正Dirichlet邊值條件的反應(yīng)擴(kuò)散方程.首先，證明了該方程局部解的存在唯一性，同時(shí)還得到存在一個(gè)臨界長(zhǎng)度α*使得當(dāng)α≥α*時(shí)該方程的解會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生淬滅，并且在淬滅時(shí)刻解關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)爆破，還給出了在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)條件下的淬滅速率估計(jì)；最后，給出了該方程的一種數(shù)值計(jì)算方

8、案，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)輔助說(shuō)明了上述理論結(jié)果的正確性.(本章的主要結(jié)果發(fā)表于Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat.,2012(17):754-763.)
　　第七章，研究帶有一般奇異吸收項(xiàng)和Neumann邊界條件的非局部擴(kuò)散方程解的淬滅現(xiàn)象.首先得到了該方程解的局部存在性和唯一性，同時(shí)還證明了該方程會(huì)在有限時(shí)間內(nèi)發(fā)生淬滅；在適當(dāng)假設(shè)下可得該方程的解只在單點(diǎn)x=0處發(fā)生淬滅，并且還得到了這種情況下的淬