2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、本文研究次黎曼幾何(M,D,g)上的測地線問題,其中M是一個光滑流形,g是一個定義在括號生成的分布D上的正定度量。我們知道,測地線都是極值,其中這些極值或者是“正態(tài)的”,或者是“非正態(tài)的”。其中正態(tài)極值都是局部最短線,我們稱正態(tài)極值為正規(guī)測地線。是否每一條測地線都是正規(guī)測地線呢,許多年來一直這是個開問題,直到1991年,才被R.Montgamery解決,他舉出了一個反例。我們稱這種不是正態(tài)極值的測地線為奇異測地線,它們與度量無關(guān),只與分

2、布有關(guān)系。怎樣的分布一定(不)存在奇異測地線呢?在本文中,證明了如果分布D括號生成類為(2,1,…,1)或者(2,1,…,1,2)的Carnot群,其上一定不存在奇異測地線。于是,可以立即知道,對于Goursat流形,其上一定不存在奇異測地線。而且,有下面推論,對于維數(shù)小于6的Carnot群,一定不存在奇異測地線。另外,我們構(gòu)造了一大類Carnot群,其分布滿足條件(B1)(見定義3.2),其上一定存在奇異測地線。不難發(fā)現(xiàn)對于Carno

3、t群,維數(shù)等于5是是否存在奇異測地線的分界線。
  由于存在奇異測地線,一個自然的問題是:所有的測地線都光滑嗎?因為正規(guī)測地線都是光滑曲線,那么這個問題簡化為:所有的奇異測地線都光滑嗎?迄今為止,這個問題是個開問題。在本文中,我們證明了如果分布D滿足[D[D,D]](∈) D,以及其子分布K也滿足[K,[K,K]](∈)K時,則奇異測地線都是光滑曲線。這是Montgomery的結(jié)果的推廣[31]。根據(jù)這個結(jié)果,可以得到李群上一些分

4、布使得所有奇異測地線都是光滑曲線。另外,我們證明了對于3維分布D滿足條件(B2)(見定義4.1),可以得到所有的次黎曼測地線都是光滑曲線。然后,我們構(gòu)造滿足條件(B2)的李群,其上一定存在嚴(yán)格非正態(tài)極值。最后,討論奇異測地線與剛性曲線的關(guān)系。我們能看到許多的奇異測地線都是剛性曲線[29][32],那么是否所有的奇異測地線都是剛性曲線呢?我們證明了并非所有的奇異測地線都是剛性曲線,以及構(gòu)造不是剛性曲線的奇異測地線。
  如果將次黎曼

5、度量換成一個D上的不定的非退化度量,這就產(chǎn)生了另一種幾何。其中最簡單的一種情形是次洛倫茲度量,它是一個慣性指數(shù)為1的度量,這種幾何稱為次洛倫茲幾何[60,55,52]。次洛倫茲幾何上存在三種測地線,類時測地線,類空測地線,類光測地線。次洛倫茲測地線的研究要比次黎曼測地線要復(fù)雜的多。在這篇文章中,我們討論被賦予洛倫茲度量的Heisenberg群上的測地線。首先,研究了類時將來曲線的可達(dá)到集,第二,給出了Hamiltonian測地線的完全描

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