雙曲守恒律方程組光滑解的整體存在性和奇性分析.pdf

1、本文主要針對(duì)一維和高維雙曲守恒律方程組柯西問題光滑解的整體存在性和破裂現(xiàn)象進(jìn)行了研究。
　　第一章主要介紹問題的研究背景、意義以及研究現(xiàn)狀。在此基礎(chǔ)上給出了本文所得到的主要結(jié)果。
　　在第二章，我們主要研究由P.D.Lax引入的一類復(fù)的守恒律。該復(fù)守恒律本質(zhì)上是一類二維（含有兩個(gè)空間變量）擬線性雙曲系統(tǒng)。通過選擇適當(dāng)?shù)牧骱瘮?shù)，該方程組是線性退化的，在這種情況下，得到了該系統(tǒng)小初值柯西問題光滑解的整體存在性和生命跨度下界的估計(jì)

2、。對(duì)一大類流函數(shù)，該系統(tǒng)在某個(gè)方向上是真正非線性的，在這種情況下，得到該系統(tǒng)小初值柯西問題光滑解一定在有限的時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生奇性，并且我們對(duì)解的生命跨度給出了一個(gè)精確的估計(jì)。
　　在第三章，我們針對(duì)一維線性退化雙曲系統(tǒng)（Chaplygin gas方程）柯西問題解的奇性形成和傳播進(jìn)行了研究。根據(jù)初值的合理選擇，我們得到了一類新的奇性（Delta-奇性），包括“點(diǎn)奇性”、“線奇性”和“尖點(diǎn)奇性”。通過特征線方法，我們發(fā)現(xiàn)這類奇性與激波的形成

3、有很大的不同，Delta-奇性的形成機(jī)制是不同族的特征線在奇點(diǎn)處相切（嚴(yán)格雙曲性失去）。除此之外，我們對(duì)解在奇點(diǎn)附近的破裂行為進(jìn)行了分析。更進(jìn)一步，根據(jù)解在奇點(diǎn)附近的破裂行為，在奇性產(chǎn)生后，我們構(gòu)造了一類弱解（δ波），并且證明了它的存在唯一性。
　　在第四章，我們主要研究數(shù)學(xué)物理中的一類重要的方程，de-Sitter時(shí)空類時(shí)極值曲面方程的柯西問題。利用廣義能量方法，我們得到小初值條件下，光滑解生命跨度下界的估計(jì)。
　　最后，