2023年全國(guó)碩士研究生考試考研英語(yǔ)一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁(yè)
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1、1數(shù)列數(shù)列一、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義:按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列;數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作,在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)(或首項(xiàng)),在第二na個(gè)位置的叫第2項(xiàng),……,序號(hào)為的項(xiàng)叫第項(xiàng)(也叫通項(xiàng))記作;nnna數(shù)列的一般形式:,,,……,,……,簡(jiǎn)記作。1a2a3ana??na(2)通項(xiàng)公式的定義:如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公na式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如:①:1,2,3

2、,4,5,…②:…514131211,,,,說(shuō)明:①表示數(shù)列,表示數(shù)列中的第項(xiàng),=表示數(shù)列的通項(xiàng)公式;??nananna??fn②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如,==;na(1)n?121()12nkkZnk?????????③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如,1,1.4,1.41,1.414,……(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示:從函數(shù)觀點(diǎn)看,數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從N?()fnn1開(kāi)始依

3、次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……,,……通常用來(lái)代替,其圖(1)(2)(3)fff()fnna??fn象是一群孤立點(diǎn)一群孤立點(diǎn)。(4)數(shù)列分類:①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分:有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列;②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分:遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例:下列的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列?(1)1,2,3,4,5,6,…(2)1098765…(3)101010…(4)aaaaa…(5)數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的

4、關(guān)系:nannSna11(1)(2)nnnSnaSSn???????≥二、等差數(shù)列二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義:一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),那么2這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母表示。用遞推公式表示為d或1(2)nnaadn????1(1)nnaadn????例:等差數(shù)列,12??nan???1nnaa(二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:;1(1)naand???說(shuō)明:

5、等差數(shù)列(通常可稱為數(shù)列)的單調(diào)性:為遞增數(shù)列,為常數(shù)列,為遞減數(shù)APd0?0d?0d?列。例:1.已知等差數(shù)列中,等于()??na12497116aaaa,則,???A15B30C31D642.是首項(xiàng),公差的等差數(shù)列,如果,則序號(hào)等于na11a?3d?2005na?n(A)667(B)668(C)669(D)6703.等差數(shù)列,則為為(填“遞增數(shù)列”1212?????nbnannnanb或“遞減數(shù)列”)(三)、等差中項(xiàng)的概念:定義:如

6、果定義:如果,,成等差數(shù)列,那么成等差數(shù)列,那么叫做叫做與的等差中項(xiàng)。其中的等差中項(xiàng)。其中aAbAab2abA??,,成等差數(shù)列即:()aAb?2abA??212????nnnaaamnmnnaaa????2例:1(06全國(guó)I)設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,若,,則??na12315aaa???12380aaa?111213aaa???()ABCD1201059075(四)、等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)

7、的等差中項(xiàng);??na(2)在等差數(shù)列中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列;??na(3)在等差數(shù)列中,對(duì)任意,,,;??namnN??()nmaanmd???nmaadnm???()mn?(4)在等差數(shù)列中,若,,,且,則;??namnpqN??mnpq???mnpqaaaa???(五)、等差數(shù)列的前和的求和公式:。(n11()(1)22nnnaannSnad?????nda)(2n2112???是等差數(shù)列))(2為常數(shù)BABnAnS

8、n?????na遞推公式:2)(2)()1(1naanaaSmnmnn??????例:1.如果等差數(shù)列??na中,34512aaa???,那么127...aaa????(A)14(B)21(C)28(D)352.(2009湖南卷文)設(shè)nS是等差數(shù)列??na的前n項(xiàng)和,已知23a?,611a?,則7S等于()A13B35C49D633.(2009全國(guó)卷Ⅰ理)設(shè)等差數(shù)列??na的前n項(xiàng)和為nS,若972S?則249aaa??=4.若一個(gè)等差

9、數(shù)列前3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)列有()32設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知??nannS001213123???SSa,,①求出公差的范圍,d②指出中哪一個(gè)值最大,并說(shuō)明理由。1221SSS,,,?3(02上海)設(shè){an}(n∈N)是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且S5<S6,S6=S7>S8,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.d<0B.a7=0C.S9>S5D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項(xiàng)(

10、),則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是??na9998??nn??Nn??na5.已知是等差數(shù)列,其中,公差。na131a?8d??(1)數(shù)列從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于0?na(2)求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值,并求出對(duì)應(yīng)的值nann(十).).利用求通項(xiàng)11(1)(2)nnnSnaSSn????????1.數(shù)列的前項(xiàng)和(1)試寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng);(2)數(shù)列是等差數(shù)列嗎?(3)你能寫(xiě)nan21nSn??na出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎?na2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為

11、Sn=2n2,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;nana3.(2010安徽文)設(shè)數(shù)列na的前n項(xiàng)和2nSn?,則8a的值為()(A)15(B)16(C)49(D)644、2005北京卷)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求a2,a3,a4的值113nnaS??及數(shù)列an的通項(xiàng)公式三、等比數(shù)列三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫做等

12、比數(shù)列的公比;公比通常用字母表示,即::q(0)q?1na?(0)naqq??(一)、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式mnmnnnnnqaaqaaaa????????推廣:通項(xiàng)公式:遞推關(guān)系:111q1在等比數(shù)列中,則??na241??qa?na2在等比數(shù)列中則??na37122aq??19_____.a?3.(07重慶文)在等比數(shù)列an中,a2=8,a1=64,,則公比q為()(A)2(B)3(C)4(D)84.在等比數(shù)列中,,

13、,則=??na22??a545?a8a5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中,首項(xiàng),前三項(xiàng)和為21,則()na13a?345aaa???A33B72C84D189(二)、等比中項(xiàng):若三個(gè)數(shù)、等比中項(xiàng):若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,則稱成等比數(shù)列,則稱為的等比中項(xiàng),且為的等比中項(xiàng),且為cbabca與acbacb???2,注:是成等比數(shù)列的必要而不充分條件是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例:例:1.和的等比中項(xiàng)為()23?23?()1A()1B?()1C?(

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