數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、1數(shù)列數(shù)列一、數(shù)列的概念一、數(shù)列的概念（1）數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列；數(shù)列中的每個(gè)數(shù)都叫這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。記作，在數(shù)列第一個(gè)位置的項(xiàng)叫第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），在第二na個(gè)位置的叫第2項(xiàng)，……，序號(hào)為的項(xiàng)叫第項(xiàng)（也叫通項(xiàng)）記作；nnna數(shù)列的一般形式：，，，……，，……，簡(jiǎn)記作。1a2a3ana??na（2）通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公na式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：①：1，2，3

2、，4，5，…②：…514131211，，，，說(shuō)明：①表示數(shù)列，表示數(shù)列中的第項(xiàng)，=表示數(shù)列的通項(xiàng)公式；??nananna??fn②同一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的形式不一定唯一。例如，==；na(1)n?121()12nkkZnk?????????③不是每個(gè)數(shù)列都有通項(xiàng)公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，……（3）數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列實(shí)質(zhì)上是定義域?yàn)檎麛?shù)集（或它的有限子集）的函數(shù)當(dāng)自變量從N?()fnn1開(kāi)始依

3、次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一系列函數(shù)值……，，……通常用來(lái)代替，其圖(1)(2)(3)fff()fnna??fn象是一群孤立點(diǎn)一群孤立點(diǎn)。（4）數(shù)列分類：①按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無(wú)限分：有窮數(shù)列和無(wú)窮數(shù)列；②按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？（1）1，2，3，4，5，6，…(2)1098765…(3)101010…(4)aaaaa…（5）數(shù)列的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的

4、關(guān)系：nannSna11(1)(2)nnnSnaSSn???????≥二、等差數(shù)列二、等差數(shù)列(一)、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么2這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為d或1(2)nnaadn????1(1)nnaadn????例：等差數(shù)列，12??nan???1nnaa(二)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：；1(1)naand???說(shuō)明：

5、等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)APd0?0d?0d?列。例：1.已知等差數(shù)列中，等于（）??na12497116aaaa，則，???A15B30C31D642.是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，如果，則序號(hào)等于na11a?3d?2005na?n（A）667（B）668（C）669（D）6703.等差數(shù)列，則為為（填“遞增數(shù)列”1212?????nbnannnanb或“遞減數(shù)列”）(三)、等差中項(xiàng)的概念：定義：如

6、果定義：如果，，成等差數(shù)列，那么成等差數(shù)列，那么叫做叫做與的等差中項(xiàng)。其中的等差中項(xiàng)。其中aAbAab2abA??，，成等差數(shù)列即：（）aAb?2abA??212????nnnaaamnmnnaaa????2例：1（06全國(guó)I）設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，，則??na12315aaa???12380aaa?111213aaa???（）ABCD1201059075(四)、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)

7、的等差中項(xiàng)；??na（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；??na（3）在等差數(shù)列中，對(duì)任意，，，；??namnN??()nmaanmd???nmaadnm???()mn?（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則；??namnpqN??mnpq???mnpqaaaa???(五)、等差數(shù)列的前和的求和公式：。(n11()(1)22nnnaannSnad?????nda）（2n2112???是等差數(shù)列))(2為常數(shù)BABnAnS

8、n?????na遞推公式：2)(2)()1(1naanaaSmnmnn??????例：1.如果等差數(shù)列??na中，34512aaa???，那么127...aaa????（A）14（B）21（C）28（D）352.（2009湖南卷文）設(shè)nS是等差數(shù)列??na的前n項(xiàng)和，已知23a?，611a?，則7S等于()A13B35C49D633.（2009全國(guó)卷Ⅰ理）設(shè)等差數(shù)列??na的前n項(xiàng)和為nS，若972S?則249aaa??=4.若一個(gè)等差

9、數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有（）32設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知??nannS001213123???SSa，，①求出公差的范圍，d②指出中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。1221SSS，，，?3（02上海）設(shè)｛an｝（n∈N）是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.d＜0B.a7＝0C.S9＞S5D.S6與S7均為Sn的最大值4已知數(shù)列的通項(xiàng)（

10、），則數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)和最小項(xiàng)分別是??na9998??nn??Nn??na5.已知是等差數(shù)列，其中，公差。na131a?8d??（1）數(shù)列從哪一項(xiàng)開(kāi)始小于0？na（2）求數(shù)列前項(xiàng)和的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的值nann(十).).利用求通項(xiàng)11(1)(2)nnnSnaSSn????????1.數(shù)列的前項(xiàng)和（1）試寫(xiě)出數(shù)列的前5項(xiàng)；（2）數(shù)列是等差數(shù)列嗎？（3）你能寫(xiě)nan21nSn??na出數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？na2.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為

11、Sn=2n2，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；nana3.（2010安徽文）設(shè)數(shù)列na的前n項(xiàng)和2nSn?，則8a的值為（）（A）15(B)16(C)49（D）644、2005北京卷）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求a2，a3，a4的值113nnaS??及數(shù)列an的通項(xiàng)公式三、等比數(shù)列三、等比數(shù)列等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等

12、比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：：q(0)q?1na?(0)naqq??(一)、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式mnmnnnnnqaaqaaaa????????推廣：通項(xiàng)公式：遞推關(guān)系：111q1在等比數(shù)列中，則??na241??qa?na2在等比數(shù)列中則??na37122aq??19_____.a?3.（07重慶文）在等比數(shù)列an中，a2＝8，a1＝64，，則公比q為（）（A）2（B）3（C）4（D）84.在等比數(shù)列中，，

13、，則=??na22??a545?a8a5.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則（）na13a?345aaa???A33B72C84D189(二)、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則稱成等比數(shù)列，則稱為的等比中項(xiàng)，且為的等比中項(xiàng)，且為cbabca與acbacb???2，注：是成等比數(shù)列的必要而不充分條件是成等比數(shù)列的必要而不充分條件.例：例：1.和的等比中項(xiàng)為()23?23?()1A()1B?()1C?(