數(shù)列知識(shí)點(diǎn)歸納及習(xí)題總結(jié)

1、 第 1 頁 共 20 頁 等差與等比數(shù)列知識(shí)與方法總結(jié) 等差與等比數(shù)列知識(shí)與方法總結(jié) 一、知識(shí)結(jié)構(gòu)與要點(diǎn) 定義 n n n n n n a a a a d a a ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 2 1N n ?通項(xiàng) d n a an ) 1 ( 1 ? ? ? —等差中項(xiàng) a、b、c 成等差 2c a b ? ? ?基本概念 推廣 d m n a a m n ) ( ?

2、? ?前 n 項(xiàng)和 nd n n a n a a Sn ) 1 ( 212) (12 1 ? ? ? ? ?等差數(shù)列 當(dāng) d>0(<0) 時(shí){ } n a 為遞增（減）數(shù)列 當(dāng) d=0 時(shí) } { n a 為常數(shù) 基本性質(zhì) 與首末兩端等距離的項(xiàng)之和均相等 1 1 2 1 ...... ? ? ? ? ? ? ? ? ? i n i n n a a c a a a aN i ?q p n m a a a a q p n

3、 m ? ? ? ? ? ? ?} { n a 中共 k n n n ...... . 2 1 成等差則 nk n n a a a ...... , , 2 1 也成等差 第 3 頁 共 20 頁 （二） （二）等差數(shù)列 等差數(shù)列 1．等差數(shù)列的概念 等差數(shù)列的概念 [定義]如果一個(gè)數(shù)列從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就 叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母 d 表示。 即： 成等比

4、數(shù)列 } { ) 0 , 0 , 2 ( 1 n n n n a q a n d a a ? ? ? ? ? ? ?2．等差數(shù)列的判定方法 等差數(shù)列的判定方法 （1）定義法：對(duì)于數(shù)列? ? n a ，若 d a a n n ? ? ?1 (常數(shù))，則數(shù)列? ? n a 是等差數(shù)列。 （2）等差中項(xiàng)法：對(duì)于數(shù)列? ? n a ，若 2 1 2 ? ? ? ? n n n a a a ，則數(shù)列? ? n a 是等差數(shù)列。 3．等差數(shù)列的通

5、項(xiàng)公式 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 如果等差數(shù)列? ? n a 的首項(xiàng)是 1 a ，公差是d ，則等差數(shù)列的通項(xiàng)為 d n a an ) 1 ( 1 ? ? ? 。 [說明]：該公式整理后是關(guān)于 n 的一次函數(shù)。 4．等差數(shù)列的前 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和 項(xiàng)和 （1） ． 2) ( 1 nna a n S ? ?（ 2.） d n n na Sn 2) 1 (1? ? ?[說明]對(duì)于公式 2 整理后是關(guān)于 n 的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)。

6、5．等差中項(xiàng) 等差中項(xiàng) 如果a ， A ，b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做a 與b 的等差中項(xiàng)。即： 2b a A ? ? 或 b a A ? ? 2[說明]：在一個(gè)等差數(shù)列中，從第 2 項(xiàng)起，每一項(xiàng)（有窮等差數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一 項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)；事實(shí)上等差數(shù)列中某一項(xiàng)是與其等距離的前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)。 6．等差數(shù)列的性質(zhì) 等差數(shù)列的性質(zhì) （1） ． 等差數(shù)列任意兩項(xiàng)間的關(guān)系： 如果 n a 是等差數(shù)列的第n 項(xiàng)， m a

7、 是等差數(shù)列的第m 項(xiàng)，且 n m ? ，公差為d ，則有 d m n a a m n ) ( ? ? ?（2）.對(duì)于等差數(shù)列? ? n a ，若 q p m n ? ? ? ，則 q p m n a a a a ? ? ? 。 也就是： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 1 2 1 n n n a a a a a a ，如圖所示：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nna an

8、a an n a a a a a a??? ??11 2, , , , , , 1 2 3 2 1（3） ． 若數(shù)列? ? n a 是等差數(shù)列， n S 是其前 n 項(xiàng)的和， * N k ? ， 那么 k S ， k k S S ? 2 ， k k S S 2 3 ?成等差數(shù)列。如下圖所示： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

9、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?kk k k kSS Sk kS Sk k k a a a a a a a a32 3 2 k3 1 2 2 1S3 2 1???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（4） ．設(shè)數(shù)列? ? n a 是等差數(shù)列， 奇 S 是奇數(shù)項(xiàng)的和， 偶 S 是偶數(shù)項(xiàng)項(xiàng)的和， n S 是前 n 項(xiàng)的和，則有如下性質(zhì)：①奇數(shù)項(xiàng) d a a a 2 , , , 5 3 1 成等差數(shù)列，公差為 ?②