讓抽象變得自然線性代數(shù)精彩案例

1、讓抽象變得自然 線性代數(shù)精彩案例,李尚志 北京航空航天大學(xué),潤物細(xì)無聲：應(yīng)用案例 子空間概念的應(yīng)用,,,,,,,,,,,,,,,,4 階幻方構(gòu)造法,4 x + ?同加1?,隨風(fēng)潛入夜:概念的引入,方程個數(shù)的真與假 方程組 有幾個方程？ 3個?

2、2個?,,某個方程是其余方程的線性組合 ? 線性相關(guān),方程組線性相關(guān) ?有多余的方程（是其余方程的線性組合）刪去多余的方程 ---- 打假將打假進(jìn)行到底?極大線性無關(guān)組剩下的方程的個數(shù)---- 秩rank,極大線性無關(guān)組，秩,二元一次方程組的幾何意義,行列式的定義,方程組,可寫成向量形式,即,1. 有唯一解的條件,不共線,即,2. 消元: 方程(1.1)兩邊與,(1.1),作內(nèi)積消去y, 得,其中,就是,同理得,圖2,因此,

3、,于是,3. 二階行列式 — 平行四邊形面積,稱為二階行列式, 記作,是平行四邊形 OAPB 的有向面積,,是兩個向量,或,的函數(shù),,計算公式:,或,圖2,4. 代數(shù)算法,可寫成,其中,三階行列式與體積,1. 三元一次方程組的幾何意義,兩邊同時與,,方程,作內(nèi)積消去 y, z , 得到,類似地可以得到 y, z 的表達(dá)式。,當(dāng),時得,從原點O出發(fā)作有向線段OA，OB，OC使,則,就是以O(shè)A,OB,OC為棱的平行六面,體的有向體積。稱為三

4、階行列式，記作,2. 三階行列式 — 平行六面體體積,利用基本性質(zhì)計算 n 階行列式,(3.1),當(dāng) i1,i2,…,in 中有兩個相等時，,這樣的項可以從 (3.1) 中去掉。只剩下 i1,i2,…, in 兩兩不相等的項, (3.1)中的 變成對1,2,…,n 的全體排列 (i1,i2,…, in ) 求和，成為：,將排列 中任意兩個數(shù) 相互交換位置, 稱為這個排列的一個對換

5、。相應(yīng)地，行列式 中的 互換了位置，其值變?yōu)樵瓉碇档南喾磾?shù) 。 進(jìn)行若干次對換(設(shè)為 s 次)可以將排列 變成標(biāo)準(zhǔn)排列 (12…n), 相應(yīng)地將 變成,(3.2),以下只須對每

6、個排列 求,可以證明, 的值由排列 唯一決定, 我們將 記為 sgn 。則,sgn,代入(3.3) 得到,(3.3),于是得,這可以作為 n 階行列式的定義。,(3.4),線性代數(shù),空間為體, 矩陣為用研究對象----幾何：線性空間(向量) 研究工具----代數(shù)：矩陣運算 向量 (問題) ?

7、 矩陣語言描述 ? 矩陣運算解決 ? 向量(解答)與微積分的關(guān)系: 非線性 --微積分? 線性 --線性代數(shù)?,微積分中的代數(shù)模型,物理: 以勻速代變速 幾何: 以直代曲 代數(shù): 以線性代非線性,線性化--微分與導(dǎo)數(shù),y = f(x) 在a的微分： Dy= f(x)-f(a) ≈ 線性函數(shù) dy = kDx 誤差 q =

8、 Dy-dy 是 Dx = x-a 的高階無窮小. 導(dǎo)數(shù) f ’(a) = 一次項系數(shù) k . 一次函數(shù)逼近 f(x) ≈ f(a) +f’(a)(x-a)誤差集合 o(Dx) ：Dx 的高階無窮小非零作零貌似零: q+q = q, q-q = q, aq= q.同余式 f(x) ≡ f(a) +f’(a)(x-a) （mod o(Dx) ）,同余式:,極限: f(x) ? A, f(x) ≡ A （mod O(Dx)

9、 ）微分: f(x) ≡ f(a) +f’(a)(x-a) (mod o(Dx))Taylor逼近: f(x) ≡ k0+k1(x-a)+…+kn(x-a)n (mod o(Dx)n),多項式的導(dǎo)數(shù),.多項式 f(x) 的導(dǎo)數(shù): x為常量，t 為變量, 則 D f(x) = f(x+ t ) – f(x) 是 t 的多項式，其中的一次項系數(shù)為 f ’(x).,和差積商的導(dǎo)數(shù)公式,f(x) ≡ f(a)

10、 + f’(a) Dx g(x) ≡ g(a) +g’(a) Dx 兩式相加減? 和差的導(dǎo)數(shù)相乘?乘積的導(dǎo)數(shù)f(x)g(x) ≡ f(a)g(a) +(f(a)g’(a)+g(a)f’(a)) Dx倒數(shù)的導(dǎo)數(shù):,微積分基本定理,數(shù)學(xué)聊齋：飛檐走壁之電影 實現(xiàn)導(dǎo)數(shù)： 位置 f(t) ? 速度 v(t) = f’(t)積分：速度 v(t) ? 路程 Df(t) “倒過來放映”: 求 f(t) 使 f’(t) = v(t)

11、 . 例： .,2024/3/16,,F(x,y) 在某點P0可微何時由 F(x,y)=0 確定 y=f(x)?線性化: aDx+bDy ≈ 0, y=f(x) 在 x0 可微, 導(dǎo)數(shù)為,隱函數(shù)存在定理,2024/3/16,可微函數(shù)n 個方程 =0 ,線性化

12、 即當(dāng) det B 時有唯一解,隱映射定理,2024/3/16,線性變換前后的圖形,2024/3/16,,向量方向的變化,2024/3/16,選取特征向量為基,計算案例: 若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,,網(wǎng)上資源,http://www.teach.ustc.edu.cn ?精品課程?國家級 ?數(shù)學(xué)實驗(2003),線性代數(shù)(2004) http://jpk.buaa.edu.cn? 2006

13、申報精品課程? 國家級 聯(lián)系辦法: lisz@buaa.edu.cn,已出版教材 李尚志, 線性代數(shù)(數(shù)學(xué)專業(yè)用), 高等教育出版社,2006.5,,精品課程網(wǎng)頁http://jpk.buaa.edu.cn,博 客,http://math.cncourse.com/ 隨筆: 比夢更美好 比夢更美好之二 --- 名師培養(yǎng)了我 數(shù)學(xué)聊齋二則 數(shù)學(xué)詩選,2024/3/16,,星移斗轉(zhuǎn)落銀河,

14、月印三潭伴碧波。 保短保長皆變換, 能伸能屈是幾何。,矩陣與變換,我的數(shù)學(xué)聊齋,,,之一 峨嵋山的佛光,數(shù)學(xué)聊齋,,,之二 指鹿為馬之幼兒版,,,博比: 長頸鹿 ? 馬馬 老虎 ? 貓咪 獅子 ? 狗狗 黑猩猩 ? 爸爸 糾錯碼: 合法碼兩兩之間差異大 (至少3位) 原碼: 0100111

15、01011?傳輸 ? 錯碼: 010010101011?糾錯 ?最接近的合法碼,,,,數(shù)學(xué)聊齋 之三 人與照片之維數(shù) 之四飛檐走壁之電影 實現(xiàn),,,,數(shù)學(xué)聊齋(之五) 足球的方與圓--- 概率沙場百勝古來稀九密一疏已足奇禍福偶然存概率風(fēng)云多變泄天機,,,,數(shù)學(xué)聊齋 之六 沒收非法所得是懲罰嗎 --- 數(shù)學(xué)期望

16、之七邯鄲農(nóng)行案,,謝謝 ！,2024/3/16,,代數(shù)幾何熔一爐 乾坤萬物坐標(biāo)書 圖形百態(tài)方程繪 變換有規(guī)矩陣籌,代數(shù)與幾何,2024/3/16,矩陣的相似對角化,AX1=aX1, AX2=bX2, AX3=cX3A(X1,X2,X3) = (X1,X2,X3) DD=diag(a,b,c), P=(X1,X2,X3)AP=PD, P-1AP = DA 相似于對角形 D .,參考文獻(xiàn),線性代數(shù)(數(shù)學(xué)