線性代數(shù)公式

1、【2012 考研必備資料】線性代數(shù)公式1、行列式1. 行列式共有 個元素，展開后有 項，可分解為 行列式； n 2 n ! n 2n2. 代數(shù)余子式的性質： ①、 和 的大小無關； ij A ij a②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為 0；③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為 ； A3. 代數(shù)余子式和余子式的關系： ( 1) ( 1) i j i jij ij ij ij M A A M ? ? ?

2、? ? ?4. 設 行列式 ： n D將 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為 ，則 ； D 1 D( 1)21 ( 1)n nD D?? ?將 順時針或逆時針旋轉 ，所得行列式為 ，則 ； D 90?2 D( 1)22 ( 1)n nD D?? ?將 主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為 ，則 ； D 3 D 3 D D ?將 主副角線翻轉后，所得行列式為 ，則 ； D 4 D 4 D D ?5. 行列式的重要公式： ①、主對角行列式：

3、主對角元素的乘積；②、副對角行列式：副對角元素的乘積 ；( 1)2 ( 1)n n?? ?③、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；? ◥◣④、 和 ：副對角元素的乘積 ； ◤ ◢( 1)2 ( 1)n n?? ?⑤、拉普拉斯展開式： 、 A O A C A B C B O B ? ? ( 1)m n C A O A A B B O B C ? ? ? :⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值；6. 對于 階行列

4、式 ，恒有： ，其中 為 階主子式； n A1 ( 1)nn k n kkkE A S ? ? ? ??? ? ? ? ? k S k7. 證明 的方法： 0 A ?①、 ； A A ? ?②、反證法；③、構造齊次方程組 ，證明其有非零解； 0 Ax ?④、利用秩，證明 ； ( ) r A n ?⑤、證明 0 是其特征值；2、矩陣1. 是 階可逆矩陣： A n（是非奇異矩陣）； ? 0 A ?（是滿秩矩陣） ? ( ) r A n ?的

5、行（列）向量組線性無關； ? A齊次方程組 有非零解； ? 0 Ax ?， 總有唯一解； ? n b R ? ? Ax b ?與 等價； ? A E可表示成若干個初等矩陣的乘積； ? A②、 ，左乘矩陣 ， 乘 的各行元素；右乘， 乘 的各列元素；12n? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?????A i ? A i ? A③、對調兩行或兩列，符號 ，且 ，例如： ； ( , ) E i j 1 ( , ) ( , ) E i

6、j E i j ? ?1 1 11 11 1? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④、倍乘某行或某列，符號 ，且 ，例如： ； ( ( )) E i k 1 1 ( ( )) ( ( )) E i k E i k? ?1 1 11 ( 0)1 1k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?⑤、倍加某行或某列，符號 ,且 ，如：

7、； ( ( )) E ij k 1 ( ( )) ( ( )) E ij k E ij k ? ? ?1 1 11 1 ( 0)1 1k kk? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?5. 矩陣秩的基本性質： ①、 ； 0 ( ) min( , ) m n r A m n ? ? ?②、 ； ( ) ( ) T r A r A ?③、若 ，則 ； A B : ( ) ( ) r A r

8、B ?④、若 、 可逆，則 ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩 可逆矩陣不影響矩陣的秩） P Q ( ) ( ) ( ) ( ) r A r PA r AQ r PAQ ? ? ?⑤、 ；（※） max( ( ), ( )) ( , ) ( ) ( ) r A r B r A B r A r B ? ? ?⑥、 ；（※） ( ) ( ) ( ) r A B r A r B ? ? ?⑦、 ；（※） ( ) min( ( ), ( )) r AB

9、 r A r B ?⑧、如果 是 矩陣， 是 矩陣，且 ，則：（※） A m n ? B n s ? 0 AB ?Ⅰ、 的列向量全部是齊次方程組 解（轉置運算后的結論）； B 0 AX ?Ⅱ、 ( ) ( ) r A r B n ? ?⑨、若 、 均為 階方陣，則 ； A B n ( ) ( ) ( ) r AB r A r B n ? ? ?6. 三種特殊矩陣的方冪： ①、秩為 1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量） 列矩陣（向量）

10、 行矩陣（向量） 行矩陣（向量）的形式，再采用結合律； ?②、型如 的矩陣：利用二項展開式；10 10 0 1a cb? ?? ?? ? ? ? ? ?二項展開式： ； 0 1 1 1 1 1 10( )nn n n m n m m n n n n m m n mn n n n n nma b C a C a b C a b C a b C b C a b ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?注：Ⅰ、 展開

11、后有 項； ( )n a b ? 1 n ?Ⅱ、 0 ( 1) ( 1) ! 1 1 2 3 !( )!? ? ? ? ? ? ? ???: : : ?:m nn n nn n n m n C C C m m n mⅢ、組合的性質： ； 1 11 102 ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?nm n m m m m r n r rn n n n n n n nrC C C C C C rC nC③、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨