廣義Sierpinski-墊的Hausdorff測(cè)度與維數(shù)的研究.pdf

1、在分形中，測(cè)度與維數(shù)的估計(jì)和計(jì)算是十分重要也非常困難的問(wèn)題.目前為止，除了少數(shù)特殊分形的測(cè)度與維數(shù)被計(jì)算出來(lái)（如均勻康托集[1]），大部分分形的測(cè)度與維數(shù)的計(jì)算仍然是需要解決的難題.即使是作為三大經(jīng)典自相似集之一的Sierpinski-墊，它的維數(shù)計(jì)算十分容易，然而它的測(cè)度的計(jì)算卻非常困難.目前為止， Sierpinski-墊的測(cè)度計(jì)算僅僅得到了S測(cè)度的一個(gè)上下界.
　　 盡管如此，當(dāng)改變Sierpinski墊的壓縮比例c時(shí)，所

2、得到的這些分形圖形隨著c在0到1之間逐漸遞增也由完全不連通到具有重疊結(jié)構(gòu)，甚至對(duì)于某些特殊的c, Sierpinski墊具有完全重疊結(jié)構(gòu).文獻(xiàn)[14]對(duì)1/3≤c≤1/2時(shí)的Sierpinski-墊S的測(cè)度進(jìn)行了討論，得到了此時(shí)S的一個(gè)上界Hs(S)＜25/22{1+c/1+c+c2}s(此時(shí)3√2/3≤c≤1/2).本文討論了其它取值范圍c≤1/3以及c∈{1/2，2/3]時(shí)Sierpinski-墊S的測(cè)度和維數(shù).對(duì)于不同范圍的c分別

3、運(yùn)用不同的方法計(jì)算出了它們的維數(shù)與測(cè)度.特別的當(dāng)c∈{1/2，2/3]時(shí)，運(yùn)用與S相同的壓縮映射族引入了一個(gè)廣義Sierpinski-墊（記為S*）的概念.S*具有重疊結(jié)構(gòu)，本文給出了S*的維數(shù)與測(cè)度的一個(gè)上界.
　　 第一章緒論中簡(jiǎn)單介紹了分形的定義，S的測(cè)度與維數(shù)的研究現(xiàn)狀，以及本文的主要工作.
　　 第二章簡(jiǎn)要介紹了Hausdorff測(cè)度與維數(shù)的概念及其性質(zhì).
　　 第三章介紹了自相似集的結(jié)構(gòu)，自相似維數(shù)，

4、開(kāi)集條件以及具有重疊結(jié)構(gòu)的自相似集等.
　　 第四章討論了壓縮比c≤1/3時(shí)S的Hausdorff測(cè)度與維數(shù).通過(guò)投影與構(gòu)造質(zhì)量分布，將分形的射影想法融入測(cè)度的計(jì)算中，將康托集測(cè)度的計(jì)算過(guò)程與Sierpinski-墊測(cè)度的計(jì)算過(guò)程結(jié)合起來(lái)計(jì)算出S的Hausdorff測(cè)度:Hs(S）=1.
　　 第五章對(duì)壓縮比c∈{1/2，2/3]時(shí)，引入廣義Sierpinski-墊的概念，并運(yùn)用壓縮映射族給出了廣義Sierpinski-