一類四階非線性波動方程的Cauchy問題.pdf

1、本文研究如下的Cauchy問題:其中x∈R,t∈R+,β>0為常數(shù),u(x,t)為未知函數(shù),P,Φ,Ψ為給定的非線性函數(shù),u0(x)和u1(x)為給定的初值函數(shù),下標x和t分別表示對x和t求偏導數(shù).這里我們不妨假定P’(0)=0,Ψ(0)=0.
　　全文分四章:第一章為引言;第二章主要利用壓縮映射原理研究Cauchy問題(1)(2)的局部解的存在唯一性;第三章用能量的方法并通過先驗估計討論Cauchy問題(1)(2)的整體解的存在

2、唯一性;第四章利用凸性方法討論Cauchy問題(1)(2)的整體解的不存在性.具體情況如下:在第二章中我們主要應(yīng)用壓縮映射原理證明Cauchy問題(1)(2)的局部解的存在唯一性.主要結(jié)果如下:
　　定理1假定u0∈H1∩W1,∞,u1∈H1∩W1,∞,|Φ'''(u)-Φ'''(v)|≤max{C2,C3|u-v|(1+|u|m1+|v|m1)},Φ'(0)=0,|P'(u)-P'(v)|≤C4|uv|(1+|u|m2+|v|m

3、2),|Ψ'(u)-Ψ'(v)|≤C5|u-v|(1+|u|m3+|v|m3),Ψ’(0)=0,(3)其中Ci,mj≥0(i=2,3,4,5;j=1,2,3),則問題(1)(2)有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大時間區(qū)間,T0依賴于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果則T0=∞.注1:如果Ψ=Φ,只須去掉(3),定理1仍然成立.
　　定理2假定定理1的條件成立,則問題(1)(2)

4、有唯一局部解其中[0,T0)是解存在的最大時間區(qū)間,T0依賴于||u0||H1+||u0x||∞+||u1||H1+||u1x||∞,而且如果(4)成立,則T0=∞.在第三章中,我們主要利用能量法并通過先驗估計證明Cauchy問題(1)(2)的整體解的存在唯一性.
　　主要結(jié)果如下:定理3假定定理1的條件成立,其中C9是一個常數(shù),且則問題(1)(2)有唯一整體解注2:如果Ψ=Φ,只須將(5)改為C9≥0,定理3仍然成立.
　

5、　定理4假定定理1的條件成立,如果σ>0,使得則問題(1)(2)有唯一整體解u∈C2([0,∞);H1∩W1,∞.在第四章中,我們利用凸性方法得到Cauchy問題(1)(2)的整體解的不存在性.
　　主要結(jié)果如下:定理5假定定理1的條件成立,且存在常數(shù)α>0使得則問題(1)(2)的解在有限時刻發(fā)生爆破,若下列條件之一成立:(1)E(0)<0;(2)E(0)≥0,(u1+u0)+β(u1x,u1)注3:如果Ψ=Φ,只須去掉(6),定