一類具阻尼非線性波動(dòng)方程的初值問(wèn)題.pdf

1、本文研究下列非線性波動(dòng)方程的初值問(wèn)題utt-Δutt-Δu-Δut=f(u)-Δg(u)，x∈Rn，t＞0，(1)u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x），x∈Rn，(2)和方程utt-Δutt-Δu-Δut=Δf(u),(3)u(x，0)=u0(x)，ut(x，0)=u1(x).(4)的小初值問(wèn)題.其中u(x，t)表示未知函數(shù)，f(s)，g(s)是已經(jīng)給定的非線性函數(shù)，u0(x）和u1(x)為定義在Rn上的已知初始函數(shù)，下

2、標(biāo)x和t分別表示對(duì)x和t的偏導(dǎo)數(shù)，Δ表示Rn中Laplace算子.
　　本文分四章:第一章為引言.第二章研究初值問(wèn)題(1)(2)在W2，p(Rn)∩L∞(Rn)中局部廣義解的存在性和唯一性，并給出解的延拓定理，通過(guò)積分估計(jì)得到在W2，p（Rn）∩L∞(Rn)中整體解的存在性和唯一性.第三章研究初值問(wèn)題(1)(2)在Hs(Rn)中局部廣義解的存在性與唯一性，并得到解的延拓定理，通過(guò)積分估計(jì)得到在Hs（Rn）中整體解的存在唯一性.第四

3、章研究小初值問(wèn)題(3)(4)整體解的衰減性質(zhì).主要結(jié)果如下:
　　定理1若u0，u1∈W2,p（Rn）∩L∞（Rn），f(s)，g(s)∈C3(R)和f(0)=0，則問(wèn)題(1)，(2)有唯一局部廣義解u(x，t)∈C3（[0，T0）;W2,p(Rn)∩L∞(Rn))，其中[0，T0)為解的最大存在區(qū)間.若sup0≤t＜T0(‖u‖2,p+‖ut‖2,p+‖u‖∞+‖ut‖∞)＜∞則T0=∞.
　　定理2若u0，u1∈W2，p

4、(Rn)∩L∞(Rn)，f(s)，g(s)∈C3（R），f(0)=g(0)=0且對(duì)于任意s∈R，g'(s)≤A0，|f'(s)-g'(s)|≤A0，則問(wèn)題(1)，(2)有唯一廣義解u(x，t)∈C3([0,∞];W2,p(Rn)∩L∞(Rn)).
　　定理3設(shè)s＞n/2和v0，v1∈Hs，f，g∈C[s]+1且f(0)=g(0)=0時(shí)，則初值問(wèn)題(1)，(2)存在唯一局部廣義解v(x，t)∈C2([0，T0);Hs），其中[0，T

5、0)為解的最大存在時(shí)間區(qū)間.若sup0≤t＜T0（‖v‖Hs+‖vt‖Hs）＜∞則T0=∞.
　　定理4假定v0，v1∈Hs（s＞n/2），f，g∈C[s]+1(R)，f(0)=g(0)=0且對(duì)于任意s∈R，g'(s)≤A1，|f'(s)-g'(s)|≤A1，則問(wèn)題(1)，(2)存在唯一整體廣義解v(x，t)∈C2([0，∞);Hs）.
　　定理5令q，γ，s為正數(shù)且q∈[1，2]，γ≥0，n/q+n/2-1≤k，α≥2，則