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文檔簡(jiǎn)介
1、本文研究下列非線性波動(dòng)方程的初值問(wèn)題utt-Δutt-Δu-Δut=f(u)-Δg(u),x∈Rn,t>0,(1)u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),x∈Rn,(2)和方程utt-Δutt-Δu-Δut=Δf(u),(3)u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x).(4)的小初值問(wèn)題.其中u(x,t)表示未知函數(shù),f(s),g(s)是已經(jīng)給定的非線性函數(shù),u0(x)和u1(x)為定義在Rn上的已知初始函數(shù),下
2、標(biāo)x和t分別表示對(duì)x和t的偏導(dǎo)數(shù),Δ表示Rn中Laplace算子.
本文分四章:第一章為引言.第二章研究初值問(wèn)題(1)(2)在W2,p(Rn)∩L∞(Rn)中局部廣義解的存在性和唯一性,并給出解的延拓定理,通過(guò)積分估計(jì)得到在W2,p(Rn)∩L∞(Rn)中整體解的存在性和唯一性.第三章研究初值問(wèn)題(1)(2)在Hs(Rn)中局部廣義解的存在性與唯一性,并得到解的延拓定理,通過(guò)積分估計(jì)得到在Hs(Rn)中整體解的存在唯一性.第四
3、章研究小初值問(wèn)題(3)(4)整體解的衰減性質(zhì).主要結(jié)果如下:
定理1若u0,u1∈W2,p(Rn)∩L∞(Rn),f(s),g(s)∈C3(R)和f(0)=0,則問(wèn)題(1),(2)有唯一局部廣義解u(x,t)∈C3([0,T0);W2,p(Rn)∩L∞(Rn)),其中[0,T0)為解的最大存在區(qū)間.若sup0≤t<T0(‖u‖2,p+‖ut‖2,p+‖u‖∞+‖ut‖∞)<∞則T0=∞.
定理2若u0,u1∈W2,p
4、(Rn)∩L∞(Rn),f(s),g(s)∈C3(R),f(0)=g(0)=0且對(duì)于任意s∈R,g'(s)≤A0,|f'(s)-g'(s)|≤A0,則問(wèn)題(1),(2)有唯一廣義解u(x,t)∈C3([0,∞];W2,p(Rn)∩L∞(Rn)).
定理3設(shè)s>n/2和v0,v1∈Hs,f,g∈C[s]+1且f(0)=g(0)=0時(shí),則初值問(wèn)題(1),(2)存在唯一局部廣義解v(x,t)∈C2([0,T0);Hs),其中[0,T
5、0)為解的最大存在時(shí)間區(qū)間.若sup0≤t<T0(‖v‖Hs+‖vt‖Hs)<∞則T0=∞.
定理4假定v0,v1∈Hs(s>n/2),f,g∈C[s]+1(R),f(0)=g(0)=0且對(duì)于任意s∈R,g'(s)≤A1,|f'(s)-g'(s)|≤A1,則問(wèn)題(1),(2)存在唯一整體廣義解v(x,t)∈C2([0,∞);Hs).
定理5令q,γ,s為正數(shù)且q∈[1,2],γ≥0,n/q+n/2-1≤k,α≥2,則
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