非線性微分方程在再生核空間中若干數(shù)值算法的研究.pdf

1、許多自然現(xiàn)象都是借助于線性和非線性方程來描述的，這些方程作為重要的數(shù)學(xué)模型在物理學(xué)、生物學(xué)、控制科學(xué)等許多研究領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，而對這些現(xiàn)象的分析一般可歸結(jié)為微分方程的求解問題，由于獲得這類方程精確解的解析表達(dá)式是非常困難的，所以發(fā)展適合的數(shù)值方法就成為既有理論意義又有實(shí)際價(jià)值的研究課題。因此如何求解這些有實(shí)際意義的方程也就變得越來越重要。
　　本文運(yùn)用再生核空間的技巧，給出了幾類非線性微分方程的求解算法。文中詳細(xì)地?cái)⑹隽嗽偕?/p>

2、核空間的應(yīng)用背景和研究歷史，回顧了再生核空間的發(fā)展?fàn)顩r。并且在文中的每一部分都給出了若干個(gè)具體的再生核空間。在所有給出的再生核空間中都有具體的再生核函數(shù)的表達(dá)式，并且每一章都進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值試驗(yàn)。這些數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了理論上推出的結(jié)論的正確性。
　　首先，通過改進(jìn)的再生核空間的內(nèi)積定義，我們簡化了某些再生核函數(shù)的表達(dá)式，這是一種多項(xiàng)式形式的再生核。利用它去解決問題可以大大減少計(jì)算量，防止更多的計(jì)算誤差的累積，從而可以大大地提高計(jì)算精度

3、。
　　其次，在再生核空間中構(gòu)造了兩種大范圍收斂的迭代序列，通過截?cái)嗉墧?shù)的形式得到了方程的近似解。另外，第二種方法針對方程解存在不唯一的情況下，可以進(jìn)一步求出滿足一定附加條件的特解。這兩種迭代法適用于一般的非線性方程，本文運(yùn)用第一種方法在第二章的Burgers方程和第三章的奇異非線性初值問題進(jìn)行了求解。運(yùn)用第二種方法在第四章對廣義Burgers方程進(jìn)行了求解。
　　最后，在第五章中利用升元手段求解了一階完全非線性微分方程。主

4、要利用再生核空間中再生核的再生性質(zhì)，利用升元手段將完全非線性常微分方程轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程進(jìn)行求解。將初始條件齊次化后融入到二維再生核空間中，運(yùn)用本文的方法可以求得一個(gè)帶有未知量的解的表達(dá)式，然后通過最小二乘法的技巧，最終獲得非線性算子方程的近似解。
　　再生核理論在模型描述、曲線擬合、函數(shù)估計(jì)、概率與統(tǒng)計(jì)方面有重要的應(yīng)用?；谠偕死碚?，本論文提出了一些求解非線性微分方程，如：Burgers方程問題，廣義Burgers方程問題，