Schrodinger型非線性偏微分方程初值問題在Sobolev空間中的適定性.pdf

1、本文研究幾類Schr(o)dinger型非線性偏微分方程和方程組初值問題在Sobolev空間中的適定性.這些方程和方程組皆來源于現(xiàn)代物理學的一些領(lǐng)域.全文共分四章. 在第一章，我們研究二維情形的經(jīng)典非線性Schr(o)dinger方程iut+△u=|u|2mu(x∈R2，t∈R)的初值問題在Sobolev空間Hs(R2)中的整體適定性，其中m為正整數(shù)，且m≥2.我們應用高低頻分解方法，證明了當10m-6/10m-5＜s＜1時，上

2、述方程的初值問題在空間Hs(R2)中整體適定，且解可以分解為u(t)=eit△ψ+y(t)，其中y∈C(R，H1(R2))，且‖y(t)‖H1≤(1+|t|)2(1-s)/(10m-5)s-(10m-6)+ε(ε為任意充分小的正數(shù)). 在第二章，我們研究各向同性的高階非線性Schr(o)dinger方程.首先考慮四階非線性Schr(o)dinger方程iut+λ△u+μ△2u+f(u)=0(x∈Rn，t∈R)，其中λ和μ為實數(shù)，

3、μ≠0，f(u)為滿足條件A的非線性復值函數(shù).這里條件A:f∈Cm(C，C)，其中m為整數(shù)，m＞n/2，且存在α＞0使得|f(k)(u)|≤C|u|α+1-k，k=0，1，…，m.我們考慮了f滿足條件A時該方程的初值問題在空間Hs(Rn)中的局部適定性，其中s≥max(0，n/2(1-8/nα)).然后用所得局部適定性結(jié)果和方程的守恒律，給出了L2解和H2解的整體存在性.特別地，我們證明了n=1，2，3以及k≥2時所對應的初值問題在空間

4、C(R，Hk(Rn))∩C1(R，Hk-2(Rn))中存在唯一的古典解. 在此基礎(chǔ)上，我們考慮了一般的高階非線性Schr(o)dinger方程ut=iP(D)u+f(u)(x∈Rn，t∈R)，其中P(D)為m階的齊次橢圓算子.f(u)為非線性復值函數(shù).當∑={ξ∈Rn||P(ξ)|=1}為凸曲面，f滿足條件A時，我們建立了上述方程初值問題在空間Hs(Rn)中的局部適定性，其中s≥max(0，n/2(1-2m/nα)).

5、在第二章的最后，我們研究了帶位勢的高階線性Schr(o)dinger方程ut=iP(D)u+V(x，t)u(x∈Rn，t∈R)，其中P(D)為m階的齊次橢圓算子，V(x，t)為實的勢函數(shù).當V(x，t)滿足一定條件時，我們給出了該方程的初值問題在L2(Rn)和Hm(Rn)空間中的局部適定性. 在第三章，我們考慮兩類各向異性的高階非線性Schr(o)dinger方程.第一類是空間變量為二維的六階方程iut+△u+aux1x1x1x

6、1+bux1x1x1x1x1x1+|u|αu=0((x1，x2)∈R2，t∈R)，其中a和b是不同時等于零的實數(shù)，α為正常數(shù).我們的結(jié)論為：(1)當s≥max(0，1-α*/α)時，上述方程的初值問題在Hs(R2)空間中局部適定，其中，如果b≠0，則α*=3；如果b=0，但a≠0，則α*=8/3.(2)當α≥α*，s≥1-α*/α時，對于小初值，該方程的初值問題在Hs(R2)空間中幾乎整體適定.(3)當α＜α*時，該方程的初值問題在L2

7、(R2)空間中整體適定.(4)當5b＞3amax{a，0}，α＞3，s≥1-3/α或b=0，a＜0α＞8/3，s≥1-8/3α時，對于小初值，該方程的初值問題在Hs(R2)空間中整體適定. 研究的第二類方程是空間變量為高維的四階方程iut+△u+|u|αu+a∑di=1uxixixi=0(x∈Rn，t∈R，1≤d＜n)，我們不僅證明了這個方程初值問題在空間Hs(Rn)中的適定性，其中s≥max(0，n/2(1-(2n-8d)α)

8、)，而且還給出了在各向異性的W2,12(Rn)空間中的適定性. 在最后一章，我們研究了下列耦合的非線性Schr(o)dinger方程組{iut+△u=a|u|αu+|v|αu，x∈R，t∈R，ivt+△v=|u|αv+a|v|αv，x∈R，t∈R，證明了上述方程組初值問題在空間Hs(R)×Hs(R)中的局部適定性，其中s≥max(0，α-4/2α)，在此基礎(chǔ)上，我們證明了a≥-1，α=2時在H1(R)×H1(R)空間中的整體適定