關(guān)于多重耦合非線性拋物型方程組的幾個(gè)問題.pdf

1、本文主要研究了一類多重耦合的非線性拋物型方程組解的奇性的產(chǎn)生和發(fā)展問題，特別糾正了在討論同時(shí)blow-up速率中容易發(fā)生的一個(gè)常見錯(cuò)誤，并且給出了保證同時(shí)與不同時(shí)blow-up發(fā)生的條件.在這里通過(guò)引入相應(yīng)的含有兩個(gè)參數(shù)的特征代數(shù)方程組，得到關(guān)于不同情形下同時(shí)blow-up速率的清晰刻畫.另外，還討論了一類具對(duì)流項(xiàng)的非線性擴(kuò)散方程組解的整體存在性與不存在性，特別是在臨界情形下，給出了區(qū)域的大小對(duì)解的整體存在性和不存在性的量化估計(jì).對(duì)這兩

2、個(gè)模型及結(jié)果簡(jiǎn)述如下： 問題Ⅰ內(nèi)部源及邊界流多重耦合的非線性拋物型方程組 {ut=uxx+ul11vl12,ut=vxx+ul21vl22,(x,t)∈(0,1)×(0,T),{ux(1,t)=(up11vp12)(l,t),vx(1,t)=(up21vp22)(1,t),t∈(0,T),{ux(0,t)=0,vx(0,t)=0,t∈(0,T),{u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),x∈(0,1),其中指

3、標(biāo)lij,pij≥0(i，j=1，2).僅考慮完全耦合的形式，假設(shè)下列條件至少之一成立：l12l21＞0，l12p21＞0，p12l21＞0和p12p21＞0.為了刻畫各種非線性機(jī)制之間復(fù)雜的相互作用，這里所包含的非線性指標(biāo)參數(shù)多到八個(gè)，使得該模型包括了非常豐富的內(nèi)容，需要討論的問題多且復(fù)雜，例如，解的blow-up臨界指標(biāo)，同時(shí)與不同時(shí)blow-up的條件，不同條件下的各種blow-up速率等等.這就需要有對(duì)非線性指標(biāo)參數(shù)細(xì)致的分類.

4、借助于對(duì)問題Ⅰ所引入的含有兩個(gè)參數(shù)的特征代數(shù)方程組，得到所需要的指標(biāo)分類，完成了對(duì)以下問題的討論： (a)只發(fā)生同時(shí)blow-up的充要條件； (b)只發(fā)生不同時(shí)blow-up的條件； (c)同時(shí)與不同時(shí)blow-up共存的指標(biāo)區(qū)域； (d)邊界流占優(yōu)耦合時(shí)的blow-up速率； (e)內(nèi)部源占優(yōu)耦合時(shí)的blow-up速率； (f)一個(gè)內(nèi)部源和一個(gè)邊界流占優(yōu)耦合時(shí)的blow-up速率；

5、 (g)blow-up集. 問題Ⅱ具對(duì)流項(xiàng)的非線性擴(kuò)散方程組 {ut=α1△um1-b1um1-2|()u|2+up1vq1,{ut=α2△vm2-b2vm2-2|()v|2+up2vq2,{u(x,t)=ε0,v(x,t)=ε0,{u(x,0)=u0(x),v(x,0)=v0(x),其中Ω()RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域；常數(shù)p2，q1＞0，p1，q2≥0，ε0＞0，mi≥1，ai＞0，bi≥0(i=1，2).由于

6、系數(shù)和指標(biāo)參數(shù)的任意性，問題Ⅱ可以包含許多非線性擴(kuò)散模型，例如，ut=uh1(△un1+uk1vl1)，vt=vh2(△vn2+uk2vl2)，其邊界條件為u=v=ε0和ut=△en1u+ek1u+l1v，vt=△en2v+ek2u+l2v，其邊界條件為u=v=0.我們?cè)敿?xì)地討論了問題Ⅱ解的整體存在性與不存在性.文獻(xiàn)[66]討論了問題Ⅱ當(dāng)a1=a2=1，b1=b2=0時(shí)的特殊情形，問題Ⅱ的結(jié)果包含了[66]中的全部結(jié)果，并有以下進(jìn)一步的