有限元方法若干問題研究.pdf

1、鄭州大學(xué)博士學(xué)位論文有限元方法若干問題研究姓名：彭玉成申請學(xué)位級別：博士專業(yè)：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：石東洋20060401摘要眾所周知，要求區(qū)域Q的剖分滿足正則性條件或擬一致假設(shè)是傳統(tǒng)有限元分析的基礎(chǔ)性條件【1】，即鍪墨c或=h≤c，這里K∈Th是一個(gè)單元，而矗是Q的一個(gè)凸剖分簇，滿足UK=Q，hK是單元K的直徑，觸是包含在單元K內(nèi)最大圓的直徑；K6Thh=maxhK，h=Ⅱ咖h)然而，一方面，有些問題定義在窄邊區(qū)域，如電機(jī)中轉(zhuǎn)子與定子之間

2、的間隙模型、關(guān)節(jié)處的軟骨組織模型，由復(fù)合材料做成的薄板等模型，在對此類問題使用數(shù)值方法去計(jì)算它們的近似解時(shí)，如果采用正則性劑分，剖分將非常密，由此產(chǎn)生的計(jì)算量非常大，甚至數(shù)值處理無法實(shí)現(xiàn)因此實(shí)際處理此類問題時(shí)，通常的技巧是采用各向異性單元剖分另一方面，有些橢圓邊值問題(例如：奇異攝動(dòng)問題、對流擴(kuò)散問題等)的解具有各向異性特征，即沿某個(gè)方向解變化非常劇烈，而沿另外方向解變化平緩在這種情況下，一個(gè)明顯能夠反映這種解的各向異性特征的處理技巧就

3、是突破上述限制，在解變化劇烈的方向采用細(xì)網(wǎng)格，在解變化平緩的方向使用粗網(wǎng)格來反映解真實(shí)變化的狀態(tài)當(dāng)處理上述兩類問題時(shí)，如果對區(qū)域剖分采用各項(xiàng)異性網(wǎng)格這一處理方式，比值警或可以非常大甚至趨于無窮，傳統(tǒng)有限元分析方法中的若干性質(zhì)和處理技巧就不能使用如對于非協(xié)調(diào)有限元進(jìn)行相容性誤差的估計(jì)時(shí)，若使用傳統(tǒng)的邊界估計(jì)技巧，將會出現(xiàn)因子等黧≯，當(dāng)F為單元K的長邊時(shí)，這個(gè)因子將趨于無窮大，無法保證收斂性，需要探索新的途徑和邊界估計(jì)技巧又如，Sobole

4、v插值理論，在各向異性網(wǎng)格情況下不能直接使用，因而插值算子在各項(xiàng)異性網(wǎng)格下的適定性、穩(wěn)定性、以及LBB條件(混合有限元方法的關(guān)鍵點(diǎn)之一)等方面的研究是十分艱巨的工作TApel等于f2，3】中提出一個(gè)各向異性判別定理，但是它用起來不方便陳紹春教授等在文[4】中概括了【23l的結(jié)果并提出了一個(gè)使用更方便的各向異性判別定理，并把它應(yīng)用于若干問題的Lagrange型和Hermite型協(xié)調(diào)元，CrouzeixRaviart型矩形元、類Wilson

5、元ACM元，Carey元等非協(xié)調(diào)元的收斂性研究(見【4，一，11，39，41】)上述的模型問題和這些成果都表明，傳統(tǒng)有限元方法中對網(wǎng)格剖分的正則性假設(shè)是不必要的，有時(shí)甚至是不合適的所以近年來，各向異性有限元的研究成了一個(gè)熱點(diǎn)，并出現(xiàn)了一系列有影響的文章(參見【2，一，11，39，40，41，65，一，70】)有限元方法研究特征值問題是另一個(gè)倍受關(guān)注的課題TJFix[12】，KIshihara[13]、IBabuskaandJOsborn