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文檔簡介
1、偏微分方程解的存在性與多重性是非線性分析的一個重要研究內(nèi)容,有著廣泛的背景,它來源于物理、生物工程、化學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.近年來,許多學(xué)者對偏微分方程進(jìn)行了研究,例如利用變分方法和臨界點理論研究了各種Schr(o)dinger方程解的存在性與多解性.這些研究都進(jìn)一步促進(jìn)了非線性分析的發(fā)展.本文利用變分方法、Morse理論、臨界點理論、拓?fù)涠壤碚撗芯苛藥最惼⒎址匠痰慕馀c變號解.
本文分為五章.
第一章,我們介紹一些研究背
2、景,國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的一些主要結(jié)果.
第二章中,我們對經(jīng)典橢圓方程Dirichlet邊值問題{-△u=f(x,u), x∈Ω,u|(e)Ω=0進(jìn)行了研究,其中Ω(C) RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域,f∈C1((Ω)×R1,R1)滿足次臨界增長條件|f't(x,t)|≤C(1+|t|p-2),(x,t)∈(Ω)×R1,其中C>0是一正常數(shù),p∈(2,2*),如果N≥3,則2*=2N/(N-2);如果N=1,2,則2*=∞.<
3、br> 我們把拓?fù)涠?、臨界群、不動點指數(shù)結(jié)合起來,得到它們之間的一些轉(zhuǎn)化關(guān)系,給出一些假設(shè)條件,使得非線性項f在0點和∞共振和跨特征值.我們解決了僅僅使用不動點指數(shù)和拓?fù)涠壤碚摬荒苎芯抗舱袂樾蔚膯栴},如文獻(xiàn)[1](J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我們考慮在0點和∞都共振的情形,這是一般文章都沒有考慮的情形.而且我們的共振條件去掉了[2](Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性條
4、件.我們還研究了單邊共振的情形,這種共振條件又比我們常見的要弱,它去掉了極限存在的要求和增長性條件.我們得到的結(jié)論是:
f在0點共振或跨特征值,在∞點共振或單邊共振或跨特征值,那么上述邊值問題都有七個非平凡解,其中兩個正解、兩個負(fù)解、三個變號解.
在維數(shù)N=1時,我們可以進(jìn)一步計算第七個解的臨界群,從而得到第八個解,這個解是變號解,所以在維數(shù)為一的情形下,我們得到兩個正解、兩個負(fù)解、四個變號解.在維數(shù)N=1,方程是四
5、階時,就化為[1]中所研究的問題.我們不僅給出了零點和無窮遠(yuǎn)點共振的情形,而且當(dāng)0點共振到奇特征值或跨奇特征值時,還可以通過計算臨界群,得到七個非平凡解,其中三個變號解,這種情形利用[1]中的方法,不能考慮.而在0點和∞都共振到偶特征值時,得到六個非平凡解,這樣的共振情形也是[1]中的方法所不能研究的.[1]中只能考慮在零點和無窮遠(yuǎn)點都是跨偶數(shù)個特征值的情形.從而我們推廣了[1]的結(jié)論,而且得到比[1]中更好的結(jié)果.
我們假設(shè)
6、以下條件:
(f1)f(x,t)t≥0,(x,t)∈(Ω)×R1;
(f2)存在n0≥2滿足λn0<λn0+1,使得f't(x,0)=λn0+1,x∈(Ω).且存在δ>0,使得f(x,t)t≤λn0+1t2,(x,t)∈(Ω)×[-δ,δ];
(f3)存在b>0,使得|f(x,t)<b,(x,t)∈(Ω)×[-bc,bc],其中c=maxx∈(Ω)e(x),且e是邊值問題:{-△u=1, x∈Ω,u|(e)
7、Ω=0的解;
(f4)存在滿足λn1-1<λn1的正整數(shù)n1>1及C1>0,α∈(0,1),使得lim|t|→∞f(x,t)/t=λn1,對x∈(Ω)一致成立,|f(x,t)-λn1t|≤C1(1+|t|α),(x,t)∈(Ω)×R1,且lim|t|→∞1/|t|2α(F(x,t)-1/2λn1t2)=(-1)n1+1∞對x∈(Ω)一致成立,其中F(x,t)=∫t0f(x,s)ds,(x,t)∈(Ω)×R1;
(f5
8、)存在n1,ε,R>0,使得λ2n1-1+ε≤f(x,t)/t≤λ2n1,x∈(Ω),|t|≥R,且lim|t|→∞1/|t|(F(x,t)-1/2λ2n1t2)=-∞對x∈(Ω)一致成立;
(f6)存在n1,ε,R>0,使得λ2n1≤f(x,t)/t≤λ2n1+1-ε,x∈(Ω),|t|≥R,且lim|t|→∞1/|t|(F(x,t)-1/2λ2n1,t2)=+∞對x∈(Ω)一致成立;
(f7)存在n0≥2,使得λ
9、n0<λn0+1且λn0<f't(x,0)<λn0+1對x∈(Ω)一致成立;
(f8)存在滿足λ2n1<λ2n1+1的n1>1,使得α(x)=lim|x|→∞f(x,t)/t存在且λ2n1<α(x)<λ2n1+1對x∈(Ω)一致成立.
定理2.1.1.設(shè)條件(f1)-(f3)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一個成立,則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解,其中兩個正解,兩個負(fù)解,三個變號解.
10、 定理2.1.2.設(shè)條件(f1),(f3)及(f7)成立,(f4),(f5),(f6),(f8)有一個成立,則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解,其中兩個正解,兩個負(fù)解,三個變號解.
在第三章中,我們考慮了RN上半線性橢圓方程-△u+u=f(x,u),u∈H1(RN)的解.在一些假設(shè)條件下,我們利用下降流線給出無窮多變號解的存在性.文獻(xiàn)[3](Adv.Math.222(2009)2173-2195)中研究的是有界區(qū)域上
11、的半線性橢圓方程的無窮多變號解,這里我們改進(jìn)到無界區(qū)域.同時,我們也改進(jìn)了文獻(xiàn)[4](Comm.Math.Phys.55(1997)149-162)中只得到無窮多解,而沒有確定出它們的符號的結(jié)論.
本章中,我們給出以下條件:
(A1)存在p∈(2,2*)及c>0,使得|f(x,t)|≤c(|t|+|t|p-1),(x,t)∈RN×R1;
(A2)存在α>2,R>0,使得αF(x,t)≤tf(x,t),(x,
12、t)∈RN×R1,inf x∈RN,|t|≥R F(x,t)>0,其中F(x,t)=∫t0f(x,s)ds,(x,t)∈RN×R1;
(A3) limt→0 f(x,t)/t=0在RN上一致成立;
(A4)f(gx,t)=f(x,t),g∈O(N),(x,t)∈RN×R1;
(A5) f(x,-t)=-f(x,t),tf(x,t)≥0,(x,t)∈RN×R1.
那么我們有如下結(jié)果:
定理
13、3.1.1.假設(shè)(A1)-(A5)成立,則方程(3.1.1)有無窮多變號解.
第四章中,我們研究Schr(o)dinger-Poisson系統(tǒng){-△u+u+λφu=f(u), x∈R3,-△φ=u2, u>0,x∈R3正徑向解的存在性,其中f∈C(R1,R1).我們假設(shè)f滿足limt→+∞f(t)/tp<+∞,利用變分方法,當(dāng)λ和p在不同范圍時,給出一些解的存在性與不存在性結(jié)果.我們把[5](J.Funct.Anal.237(
14、2006)655-674)中非線性項f(u)=up的結(jié)果推廣到一般的非線性項f,而且改進(jìn)了文獻(xiàn)[6](Ann.I.Poincaré-AN,27(2010)779-791)中只對很小的參數(shù)得到一個正徑向解的結(jié)論.
事實上,我們假設(shè)以下條件:
(H1)存在p∈(1,5),使得limsupt→+∞f(t)/tp<+∞;
(H2) limt→0 f(t)/t=0;
(H3) f(t)t≥4F(t),t∈R
15、1;
(H4)存在q∈(2,5),使得lim inft→+∞ f(t)/tq>0;
(H5)limt→+∞f(t)/t=+∞.
其中F(t)=∫t0f(s)ds.那么我們有下列結(jié)論.
定理4.1.1.如果條件(H1)中p∈(1,2),且(H2)及(H5)成立,則存在λ0>0,使得對所有的λ∈(0,λ0),系統(tǒng)(4.1.1)至少有兩個正徑向解.
定理4.1.2.如果條件(H1)中p∈(3,
16、5),且(H2)-(H4)成立,則對所有的λ>0,系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.
定理4.1.3.如果條件(H1)中p∈[2,3],且(H2)及(H5)成立,則存在λ0>0,使得對所有λ∈(0,λ0),系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.
定理4.1.4.如果條件(H1)中p∈(1,2],且(H2)成立,則存在λ0>0,使得對所有λ∈(λ0,∞),系統(tǒng)(4.1.1)沒有正解.
我們的主要結(jié)果可以用
17、下圖表示.┏━━━━━━┳━━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃┃λ充分小┃λ充分大┃所有的λ┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃ p∈(1,2)┃兩個解┃無解┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃ p=2┃一個解┃無解┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃p∈(2,3]┃一個解┃┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃p∈(3,5)┃┃┃一個解┃┗━━━━━━┻━━━━━┻━━
18、━━┻━━━━┛
第五章中,我們研究了廣義Kadomtsev-Petviashvili方程wt+wxxx+(f(w))x=D-1xwyy的基態(tài)孤立波,其中D-1x h(x,y)=∫x-∞ h(s,y)ds.我們在一些假設(shè)條件下,利用變分方法給出非平凡基態(tài)孤立波的存在性.我們?nèi)サ袅薣7](Appl.Math.Lett.15(2002)35-39)和[8](Minimax Theorems,1996)中的條件:
存在v0
19、∈Y:={gx:g∈C∞0(R2)},使得lims→+∞F(sv0)/s2→+∞.
這是研究廣義Kadomtsev-Petviashvili方程經(jīng)常會假設(shè)的條件.并且在本章中,相應(yīng)的泛函不滿足(PS)條件和(C)條件.
我們假設(shè)
(B1)f∈C(R1,R1),f(0)=0,且對某一p∈(3,6),lim|t|→∞ f(t)/|t|p-1=0, lim|t|→∞ F(t)|t|2=+∞;
(B2)
20、limt→0 f(t)/t=0;
(B3)存在θ≥1,使得θG(t)≥G(st),t∈R1,s∈[0,1],其中G(t)=f(t)t-2F(t).
定理5.1.1.假設(shè)(B1)-(B3)成立,那么問題(5.1.1)有一基態(tài)孤立波.
另外,我們還研究了變系數(shù)的廣義Kadomtsev-Pet viashvili方程的基態(tài)孤立波:(-uxx+D-2xuyy+a(x,y)u-f(u))x=0,(5.4.1)其中(x
21、,y)∈R2.我們假設(shè)a∈C(R2,R1)且存在正數(shù)α,β,使得0<α≤a(x,y)≤β<∞.且a(x,y)滿足以下條件:a(x,y)<a∞=lim|(x,y)|→∞ a(x,y)<∞,(x,y)∈R2,(a)
這里我們同樣也去掉了[9](J.Math.Anal.Appl.361(2010)48-58)中研究變系數(shù)p-Laplace方程所作的周期性假設(shè).從而推廣了[9]中的方法.
則我們有下列結(jié)論:
定理5
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