微分方程的多解與變號解.pdf

1、偏微分方程解的存在性與多重性是非線性分析的一個重要研究內(nèi)容，有著廣泛的背景，它來源于物理、生物工程、化學(xué)和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域.近年來，許多學(xué)者對偏微分方程進(jìn)行了研究，例如利用變分方法和臨界點理論研究了各種Schr(o)dinger方程解的存在性與多解性.這些研究都進(jìn)一步促進(jìn)了非線性分析的發(fā)展.本文利用變分方法、Morse理論、臨界點理論、拓?fù)涠壤碚撗芯苛藥最惼⒎址匠痰慕馀c變號解.
　　本文分為五章.
　　第一章，我們介紹一些研究背

2、景，國內(nèi)外研究現(xiàn)狀及本文的一些主要結(jié)果.
　　第二章中，我們對經(jīng)典橢圓方程Dirichlet邊值問題{-△u=f(x，u)， x∈Ω，u|(e)Ω=0進(jìn)行了研究，其中Ω(C) RN是具有光滑邊界的有界區(qū)域，f∈C1((Ω)×R1，R1)滿足次臨界增長條件|f't(x，t)|≤C(1+|t|p-2),(x,t)∈(Ω)×R1,其中C＞0是一正常數(shù)，p∈(2，2*)，如果N≥3，則2*=2N/(N-2);如果N=1，2，則2*=∞.<

3、br>　　我們把拓?fù)涠?、臨界群、不動點指數(shù)結(jié)合起來，得到它們之間的一些轉(zhuǎn)化關(guān)系，給出一些假設(shè)條件，使得非線性項f在0點和∞共振和跨特征值.我們解決了僅僅使用不動點指數(shù)和拓?fù)涠壤碚摬荒苎芯抗舱袂樾蔚膯栴}，如文獻(xiàn)[1](J.Math.Anal.Appl.314(2006)464-476).我們考慮在0點和∞都共振的情形，這是一般文章都沒有考慮的情形.而且我們的共振條件去掉了[2](Math.Z.233(2000)655-677)中的有界性條

4、件.我們還研究了單邊共振的情形，這種共振條件又比我們常見的要弱，它去掉了極限存在的要求和增長性條件.我們得到的結(jié)論是:
　　f在0點共振或跨特征值，在∞點共振或單邊共振或跨特征值，那么上述邊值問題都有七個非平凡解，其中兩個正解、兩個負(fù)解、三個變號解.
　　在維數(shù)N=1時，我們可以進(jìn)一步計算第七個解的臨界群，從而得到第八個解，這個解是變號解，所以在維數(shù)為一的情形下，我們得到兩個正解、兩個負(fù)解、四個變號解.在維數(shù)N=1，方程是四

5、階時，就化為[1]中所研究的問題.我們不僅給出了零點和無窮遠(yuǎn)點共振的情形，而且當(dāng)0點共振到奇特征值或跨奇特征值時，還可以通過計算臨界群，得到七個非平凡解，其中三個變號解，這種情形利用[1]中的方法，不能考慮.而在0點和∞都共振到偶特征值時，得到六個非平凡解，這樣的共振情形也是[1]中的方法所不能研究的.[1]中只能考慮在零點和無窮遠(yuǎn)點都是跨偶數(shù)個特征值的情形.從而我們推廣了[1]的結(jié)論，而且得到比[1]中更好的結(jié)果.
　　我們假設(shè)

6、以下條件:
　　(f1)f(x,t)t≥0,(x,t)∈(Ω)×R1;
　　(f2)存在n0≥2滿足λn0＜λn0+1，使得f't(x，0)=λn0+1，x∈(Ω).且存在δ＞0，使得f(x，t)t≤λn0+1t2，(x，t)∈(Ω)×[-δ，δ];
　　(f3)存在b＞0，使得|f(x，t)＜b，(x，t)∈(Ω)×[-bc，bc]，其中c=maxx∈(Ω)e(x)，且e是邊值問題:{-△u=1， x∈Ω，u|(e)

7、Ω=0的解;
　　(f4)存在滿足λn1-1＜λn1的正整數(shù)n1＞1及C1＞0，α∈(0，1)，使得lim|t|→∞f(x,t)/t=λn1,對x∈(Ω)一致成立，|f(x，t)-λn1t|≤C1(1+|t|α)，（x，t)∈(Ω)×R1，且lim|t|→∞1/|t|2α（F（x，t)-1/2λn1t2）=（-1）n1+1∞對x∈(Ω)一致成立，其中F(x，t)=∫t0f(x，s)ds，(x，t)∈(Ω)×R1;
　　(f5

8、)存在n1，ε,R＞0，使得λ2n1-1+ε≤f(x,t)/t≤λ2n1，x∈(Ω)，|t|≥R，且lim|t|→∞1/|t|(F(x，t)-1/2λ2n1t2)=-∞對x∈(Ω)一致成立;
　　(f6)存在n1，ε，R＞0，使得λ2n1≤f(x,t)/t≤λ2n1+1-ε，x∈(Ω)，|t|≥R，且lim|t|→∞1/|t|(F(x,t)-1/2λ2n1,t2)=+∞對x∈(Ω)一致成立;
　　(f7)存在n0≥2，使得λ

9、n0＜λn0+1且λn0＜f't(x，0)＜λn0+1對x∈(Ω)一致成立;
　　(f8)存在滿足λ2n1＜λ2n1+1的n1＞1，使得α(x)=lim|x|→∞f(x，t)/t存在且λ2n1＜α(x)＜λ2n1+1對x∈(Ω)一致成立.
　　定理2.1.1.設(shè)條件(f1)-(f3)成立，(f4)，(f5)，(f6)，(f8)有一個成立，則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解，其中兩個正解，兩個負(fù)解，三個變號解.

10、　　定理2.1.2.設(shè)條件(f1)，(f3)及(f7)成立，(f4)，(f5)，(f6)，(f8)有一個成立，則邊值問題(2.1.1)至少有七個非平凡解，其中兩個正解，兩個負(fù)解，三個變號解.
　　在第三章中，我們考慮了RN上半線性橢圓方程-△u+u=f(x，u),u∈H1(RN)的解.在一些假設(shè)條件下，我們利用下降流線給出無窮多變號解的存在性.文獻(xiàn)[3](Adv.Math.222(2009)2173-2195)中研究的是有界區(qū)域上

11、的半線性橢圓方程的無窮多變號解，這里我們改進(jìn)到無界區(qū)域.同時，我們也改進(jìn)了文獻(xiàn)[4](Comm.Math.Phys.55(1997)149-162)中只得到無窮多解，而沒有確定出它們的符號的結(jié)論.
　　本章中，我們給出以下條件:
　　(A1)存在p∈(2，2*)及c＞0，使得|f(x,t)|≤c(|t|+|t|p-1),(x,t)∈RN×R1;
　　(A2)存在α＞2，R＞0，使得αF（x，t)≤tf(x，t)，(x，

12、t)∈RN×R1，inf x∈RN,|t|≥R F(x，t)＞0，其中F(x,t)=∫t0f(x,s)ds,(x,t)∈RN×R1;
　　(A3) limt→0 f(x，t)/t=0在RN上一致成立;
　　(A4)f(gx,t)=f(x,t),g∈O(N),(x，t)∈RN×R1;
　　(A5) f(x，-t)=-f(x，t)，tf(x，t)≥0，（x，t)∈RN×R1.
　　那么我們有如下結(jié)果:
　　定理

13、3.1.1.假設(shè)(A1)-(A5)成立，則方程(3.1.1)有無窮多變號解.
　　第四章中，我們研究Schr(o)dinger-Poisson系統(tǒng){-△u+u+λφu=f(u), x∈R3,-△φ=u2， u＞0，x∈R3正徑向解的存在性，其中f∈C(R1，R1).我們假設(shè)f滿足limt→+∞f(t)/tp＜+∞，利用變分方法，當(dāng)λ和p在不同范圍時，給出一些解的存在性與不存在性結(jié)果.我們把[5](J.Funct.Anal.237(

14、2006)655-674)中非線性項f(u)=up的結(jié)果推廣到一般的非線性項f，而且改進(jìn)了文獻(xiàn)[6](Ann.I.Poincaré-AN，27(2010)779-791)中只對很小的參數(shù)得到一個正徑向解的結(jié)論.
　　事實上，我們假設(shè)以下條件:
　　(H1)存在p∈(1，5)，使得limsupt→+∞f(t)/tp＜+∞;
　　(H2) limt→0 f(t)/t=0;
　　(H3) f(t)t≥4F(t),t∈R

15、1;
　　(H4)存在q∈(2，5)，使得lim inft→+∞ f(t)/tq＞0;
　　(H5)limt→+∞f(t)/t=+∞.
　　其中F(t)=∫t0f(s)ds.那么我們有下列結(jié)論.
　　定理4.1.1.如果條件(H1)中p∈(1，2)，且(H2)及(H5)成立，則存在λ0＞0，使得對所有的λ∈(0，λ0)，系統(tǒng)(4.1.1)至少有兩個正徑向解.
　　定理4.1.2.如果條件(H1)中p∈(3，

16、5),且(H2)-(H4)成立，則對所有的λ＞0，系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.
　　定理4.1.3.如果條件(H1)中p∈[2，3]，且(H2)及(H5)成立，則存在λ0＞0，使得對所有λ∈(0，λ0)，系統(tǒng)(4.1.1)至少有一個正徑向解.
　　定理4.1.4.如果條件(H1)中p∈(1，2]，且(H2)成立，則存在λ0＞0，使得對所有λ∈(λ0，∞)，系統(tǒng)(4.1.1)沒有正解.
　　我們的主要結(jié)果可以用

17、下圖表示.┏━━━━━━┳━━━━━┳━━━━┳━━━━┓┃┃λ充分小┃λ充分大┃所有的λ┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃ p∈(1，2)┃兩個解┃無解┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃ p=2┃一個解┃無解┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃p∈(2，3]┃一個解┃┃┃┣━━━━━━╋━━━━━╋━━━━╋━━━━┫┃p∈(3，5)┃┃┃一個解┃┗━━━━━━┻━━━━━┻━━

18、━━┻━━━━┛
　　第五章中，我們研究了廣義Kadomtsev-Petviashvili方程wt+wxxx+(f(w))x=D-1xwyy的基態(tài)孤立波，其中D-1x h(x，y)=∫x-∞ h(s，y)ds.我們在一些假設(shè)條件下，利用變分方法給出非平凡基態(tài)孤立波的存在性.我們?nèi)サ袅薣7](Appl.Math.Lett.15(2002)35-39)和[8](Minimax Theorems，1996)中的條件:
　　存在v0

19、∈Y:={gx:g∈C∞0(R2)}，使得lims→+∞F(sv0)/s2→+∞.
　　這是研究廣義Kadomtsev-Petviashvili方程經(jīng)常會假設(shè)的條件.并且在本章中，相應(yīng)的泛函不滿足(PS)條件和(C)條件.
　　我們假設(shè)
　　(B1)f∈C(R1，R1)，f(0)=0，且對某一p∈(3，6)，lim|t|→∞ f(t)/|t|p-1=0, lim|t|→∞ F(t)|t|2=+∞;
　　(B2)

20、limt→0 f(t)/t=0;
　　(B3)存在θ≥1，使得θG(t)≥G(st),t∈R1，s∈[0，1]，其中G(t)=f(t)t-2F(t).
　　定理5.1.1.假設(shè)(B1)-(B3)成立，那么問題(5.1.1)有一基態(tài)孤立波.
　　另外，我們還研究了變系數(shù)的廣義Kadomtsev-Pet viashvili方程的基態(tài)孤立波:(-uxx+D-2xuyy+a(x,y)u-f(u))x=0,(5.4.1)其中(x

21、，y)∈R2.我們假設(shè)a∈C(R2，R1)且存在正數(shù)α，β，使得0＜α≤a(x，y)≤β＜∞.且a（x，y）滿足以下條件:a(x，y)＜a∞=lim|（x，y)|→∞ a（x，y）＜∞，(x，y)∈R2，(a)
　　這里我們同樣也去掉了[9](J.Math.Anal.Appl.361(2010)48-58)中研究變系數(shù)p-Laplace方程所作的周期性假設(shè).從而推廣了[9]中的方法.
　　則我們有下列結(jié)論:
　　定理5