非線性微分方程邊值問題的正解、變號解的存在性.pdf

1、Banach空間中微分方程積分方程解的存在性是近年來發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，它來源于物理科學(xué)，生物學(xué)及其他應(yīng)用學(xué)科并隨著其他科學(xué)的發(fā)展而得到了巨大發(fā)展，它把常微分方程理論和泛函分析理論結(jié)合起來，利用泛函分析的方法研究Banach空間中的常微分方程. 常微分方程邊值問題在經(jīng)典力學(xué)和電學(xué)中有著極為豐富的源泉，它是常微分方程學(xué)科的重要組成部分之一.常微分方程兩點邊值問題(如Dirichlet邊值問題、Neumann邊值問題、Rob

2、in邊值問題、Sturm-Liouvill邊值問題及周期邊值問題等)已被深入而廣泛的研究，并取得系統(tǒng)而深刻的結(jié)果.對于抽象空間中奇異兩點邊值問題，以及變號解的研究，這方面的結(jié)果還是相對較少的.本論文研究了上述問題，獲得了一些較好的結(jié)果. 全文共分四章，本文第一章考慮了Banach空間中非線性奇異微分方程邊值問題正解的存在性，奇異邊值問題最早是在研究大氣對流，天體演變及一些流體力學(xué)問題中提出來的.隨著對奇異微分方程研究的逐步加深，

3、人們發(fā)現(xiàn)，用泛函分析的方法研究此類問題能取得較好的結(jié)果，特別是國內(nèi)這方面的專家郭大鈞先生及其同仁的一系列專著的問世，為用泛函分析方法研究微分方程問題提供了雄厚的理論基礎(chǔ)和強(qiáng)有力的工具.然而，在抽象空間中對奇異邊值問題的研究，還不是很多，劉衍勝教授在文[4]中做過一些探討，本文第一章把原文作了一般性推廣，并給出了算子全連續(xù)的條件，然后利用不動點定理得到了正解的存在性. 眾所周知，經(jīng)典的常微分方程兩點邊值問題有著極為重要而廣泛的理論

4、和實際背景，相比之下，常微分方程非局部問題起步較晚，這里的“非局部問題”指常微分方程定解問題的定解條件不僅依賴于解在區(qū)間端點的取值，而且依賴于解在區(qū)間內(nèi)部的某些點上的取值.盡管理論和應(yīng)用中的許多問題均可歸結(jié)常微分方程非局部問題，但由于非局部問題自身固有的難度，人們對非局部問題的研究起步相當(dāng)晚.Kiguradze和Lomtatidze(1984)，I1'in和Mdiseev(1987)開始討論二階線性常微分方程多點邊值問題.1992年，G

5、upta開始研究二階非線性常微分方程三點邊值問題解的存在性.此后的十多年間，關(guān)于常微分方程非局部問題的研究取得了較大進(jìn)展，但主要是正解的存在性，對變號解的研究相對較少，由于變號解有其實際應(yīng)用背景(如解決某些生態(tài)問題)，因此很有必要對變號解問題加以研究.本文第二、三、四章重點研究了變號解的存在性. 第二章考慮了抽象空間中非線性算子方程變號解的存在性及應(yīng)用.通過定義了一致有界正線性算子，即設(shè)E，X為兩個Banach空間，P(∩)E為

6、正規(guī)體錐，Q(∩)X為錐，K：X→E為線性算子.若(E)u*∈P0及常數(shù)β＞0，使得Kx≥β‖Kx‖u*，(A)x∈Q則稱K為一致正線性算子若又(E)β1＞0使Kx≤β1‖x‖u*，(A)x∈Q則稱K為一致有界正線性算子和一個u*連續(xù)算子，即若對(A)ε＞0，都(E)δ＞0，使得當(dāng)u，v∈E且‖u-u‖＜δ時，有一εu*≤Au-Au≤εu*則稱算子A為u*連續(xù)的.利用不動點指數(shù)方法，得到了變號解的存在性. 第三章研究了二階微分算