三點式纖維化的整體不變量.pdf

1、尋找代數(shù)曲面的不變量之間的關系是代數(shù)幾何的重要問題．計算帶有纖維化的曲面的不變量等價于計算纖維化的相對不變量．對于直紋面和橢圓纖維化以及超橢圓纖維化的不變量，人們已有有效的計算方法．非超橢圓纖維化的不變量計算是代數(shù)幾何中未解決的問題．而三點式(Trigonal)纖維化是非超橢圓纖維化中最簡單的情形．例如虧格3和虧格4非超橢圓纖維化都是三點式纖維化． 經(jīng)過一個基變換后，三點式纖維化曲面都有一個到直紋面的三次覆蓋，因此我們可以利用三

2、次覆蓋理論來計算不變量．我們可以從一個幾何直紋面上的三次覆蓋出發(fā)，并且利用典范解消來解消曲面上的奇點．這時我們就有公式來計算光滑曲面的不變量．為了回到原始曲面，我們還得收縮纖維中的(-1)-曲線．因此主要問題就是計算典范解消產(chǎn)生的垂直(-1)-曲線的條數(shù)．對三次覆蓋來說，這是一個未解決的問題． 對于二次覆蓋，類似的問題被E.Horikawa[19]和肖剛[61]解決．他們將分歧軌跡中的奇點分為兩類，并且對每一類奇點都有公式計算這

3、種(-1)-曲線的條數(shù)． 對于三次覆蓋，我們找到分歧軌跡奇點的一種數(shù)值分類．我們將奇點分為9類，并且對每一類奇點，我們也知道典范解消產(chǎn)生的垂直(-1)-曲線的條數(shù)．這樣我們就得到了原始曲面的不變量．如果把我們的方法應用于二次覆蓋，那么我們也可以得到E．Horikawa和肖剛的結果． 作為應用，結合陳志杰和談勝利[12]的研究結果，我們得到了虧格3半穩(wěn)定非超橢圓纖維化的不變量計算公式．從而我們解決了M．Reid[46]于1