李對稱方法及其在微分方程中的應(yīng)用.pdf

1、本課題主要研究李對稱方法(Lie symmetry)在微分方程中的應(yīng)用。李對稱提供了一套系統(tǒng)的方法，使得微分方程達(dá)到降階的目的。通常使用標(biāo)準(zhǔn)方法解微分方程時(shí)，有時(shí)太過于復(fù)雜。利用李對稱方法，在一定的條件之下使得解題更為簡潔，也達(dá)到解出方程的目的。對于偏微分方程來說，研究其群不變解和對稱約化有重要的意義，為偏微分方程的研究提供了有力的工具，并且對于有些方程能夠大大減少其求解方程的計(jì)算量，能夠?qū)Ψ匠踢M(jìn)行有效的求解。 第二章對微分方程

2、及其對稱的一些基本知識做了介紹。主要介紹了向量場的定義、代數(shù)方程的不變?nèi)?、微分方程的不變?nèi)?、延拓、不變?nèi)旱纳稍?、微分方程的對稱等概念，這些知識為下面的研究打下了一定的基礎(chǔ)。 第三章研究了廣義KDV方程的群不變解。利用李群對稱的待定系數(shù)法，求出了廣義KDV方程的對稱，最后選用一些簡單的對稱將方程約化為常微分方程，并求出了廣義KDV方程的一些群不變解。 第四章研究了廣義變系數(shù)KDV方程的對稱約化及其群不變解。利用經(jīng)典李對稱

3、的方法對廣義變系數(shù)KDV方程進(jìn)行研究，通過這種方法得到了該方程的一個(gè)新的精確解。 第五章研究了一類任意階偏微分方程的非古典對稱和相容性。討論了一類任意階微分方程的非古典對稱的決定方程。非古典對稱的決定方程傳統(tǒng)的獲得方法是利用向量場和它的延拓來得到的。在這一章，我們拓展了文獻(xiàn)[45]通過初始方程和不變曲面條件相容性獲得決定方程的方法，文獻(xiàn)[45]討論的是如何通過初始方程和不變曲面條件相容性獲得一類演化方程的決定方程，我們將這個(gè)方法