李對(duì)稱方法及其在微分方程中的應(yīng)用.pdf

1、本課題主要研究李對(duì)稱方法(Lie symmetry)在微分方程中的應(yīng)用。李對(duì)稱提供了一套系統(tǒng)的方法，使得微分方程達(dá)到降階的目的。通常使用標(biāo)準(zhǔn)方法解微分方程時(shí)，有時(shí)太過(guò)于復(fù)雜。利用李對(duì)稱方法，在一定的條件之下使得解題更為簡(jiǎn)潔，也達(dá)到解出方程的目的。對(duì)于偏微分方程來(lái)說(shuō)，研究其群不變解和對(duì)稱約化有重要的意義，為偏微分方程的研究提供了有力的工具，并且對(duì)于有些方程能夠大大減少其求解方程的計(jì)算量，能夠?qū)Ψ匠踢M(jìn)行有效的求解。 第二章對(duì)微分方程

2、及其對(duì)稱的一些基本知識(shí)做了介紹。主要介紹了向量場(chǎng)的定義、代數(shù)方程的不變?nèi)骸⑽⒎址匠痰牟蛔內(nèi)?、延拓、不變?nèi)旱纳稍?、微分方程的?duì)稱等概念，這些知識(shí)為下面的研究打下了一定的基礎(chǔ)。 第三章研究了廣義KDV方程的群不變解。利用李群對(duì)稱的待定系數(shù)法，求出了廣義KDV方程的對(duì)稱，最后選用一些簡(jiǎn)單的對(duì)稱將方程約化為常微分方程，并求出了廣義KDV方程的一些群不變解。 第四章研究了廣義變系數(shù)KDV方程的對(duì)稱約化及其群不變解。利用經(jīng)典李對(duì)稱

3、的方法對(duì)廣義變系數(shù)KDV方程進(jìn)行研究，通過(guò)這種方法得到了該方程的一個(gè)新的精確解。 第五章研究了一類任意階偏微分方程的非古典對(duì)稱和相容性。討論了一類任意階微分方程的非古典對(duì)稱的決定方程。非古典對(duì)稱的決定方程傳統(tǒng)的獲得方法是利用向量場(chǎng)和它的延拓來(lái)得到的。在這一章，我們拓展了文獻(xiàn)[45]通過(guò)初始方程和不變曲面條件相容性獲得決定方程的方法，文獻(xiàn)[45]討論的是如何通過(guò)初始方程和不變曲面條件相容性獲得一類演化方程的決定方程，我們將這個(gè)方法