27.2.2 相似三角形的性質(zhì)

1、27.2.2 相似三角形的性質(zhì) 相似三角形的性質(zhì)1．理解相似三角形的性質(zhì)；(重點(diǎn))2．會利用相似三角形的性質(zhì)解決簡單的問題．(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入兩個三角形相似，除了對應(yīng)邊成比例、對應(yīng)角相等之外，還可以得到許多有用的結(jié)論．例如，在圖中，△ABC 和△A′B′C′是兩個相似三角形，相似比為 k，其中 AD、A′D′分別為 BC、B′C′邊上的高，那么 AD、A′D′之間有什么關(guān)系？二、合作探究探究點(diǎn)一： 相似三角形的性質(zhì)【類型一】 利用相

2、似比求三角形的周長和面積如圖所示，平行四邊形 ABCD 中，E 是 BC 邊上一點(diǎn)，且 BE＝EC，BD、AE 相交于 F 點(diǎn)．(1)求△BEF 與△AFD 的周長之比；(2)若 S△BEF＝6cm2，求 S△AFD. 解析：利用相似三角形的對應(yīng)邊的比可以得到周長和面積之比，然后再進(jìn)一步求解．解：(1)∵在平行四邊形 ABCD 中，AD∥BC，且 AD＝BC，∴△BEF∽△AFD.又∵BE＝ BC，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴△BEF 與△AF

3、D 的周長之比為 ＝ ；12BEADBFDFEFAF12BE＋BF＋EFAD＋DF＋AF12(2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比為 ，∴ ＝( )2，∴S△AFD＝4S△BEF＝12S △ BEFS △ AFD124×6＝24cm2.方法總結(jié)：理解相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解決問題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第 4、6 題【類型二】 利用相似三角形的周長或面積

4、比求相似比若△ABC∽△A′B′C′，其面積比為 1∶2，則△ABC 與△A′B′C′的相似比為( )A．1∶2 B. ∶2 2C．1∶4 D. ∶1 2所以 ＝ ＝ .AEAD1333方法總結(jié)：利用相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第 7 題【類型五】 利用相似三角形的性質(zhì)解決動點(diǎn)問題如圖，已知△ABC 中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，P

5、Q∥AB，P 點(diǎn)在 AC 上(與 A、C 不重合)，Q 點(diǎn)在 BC 上．(1)當(dāng)△PQC 的面積是四邊形 PABQ 面積的 時，求 CP 的長；13(2)當(dāng)△PQC 的周長與四邊形 PABQ 的周長相等時，求 CP 的長．解析：(1)由于 PQ∥AB，故△PQC∽△ABC，當(dāng)△PQC 的面積是四邊形 PABQ 面積的時，△CPQ 與△CAB 的面積比為 1∶4，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，可 13求出 CP 的長；(2)由于

6、△PQC∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可用 CP 表示出 PQ 和CQ 的長，進(jìn)而可表示出 AP、BQ 的長．根據(jù)△CPQ 和四邊形 PABQ 的周長相等，可將相關(guān)的各邊相加，即可求出 CP 的長．解：(1)∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC，∵S△PQC＝ S 四邊形 PABQ，∴S△PQC∶S△ABC＝131∶4，∵ ＝ ，∴CP＝ CA＝2； 141212(2)∵△PQC∽△ABC，∴ ＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴CQ＝ CP.同理

7、可知 PQ＝ CP，CPCACQCBPQABCP4CQ33454∴C△PCQ＝CP＋PQ＋CQ＝CP＋ CP＋ CP＝3CP，C 四邊形 PABQ＝PA＋AB＋BQ＋PQ＝(4－5434CP)＋AB＋(3－CQ)＋PQ＝4－CP＋5＋3－ CP＋ CP＝12－ CP，∴12－ CP＝3CP，∴3454121272CP＝12，∴CP＝ .247方法總結(jié)：由相似三角形得出線段的比例關(guān)系，再根據(jù)線段的比例關(guān)系解決面積、線段的問題是解題的關(guān)鍵．