探究絕對值函數(shù)最值的求法

1、12oyx12123oyx探究絕對值函數(shù)最值的求法及應(yīng)用陜西省西鄉(xiāng)縣第二中學(xué)：王仕林郵編：7235002011年陜西省理科高考試題第14題。題目是：植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為米。該題考查了求絕對值函數(shù)的最小值問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=|x10||x20||x30||x200|AAA

2、——的最小值問題。另外2009年上海高考有一道數(shù)學(xué)試題；其題目是：某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5）（6，6）為報刊零售點，請確定一個格點（除零售點外）為發(fā)行站，使6個零售點沿街道發(fā)行站之同路程的和最短。該題也需要轉(zhuǎn)化為求絕對值函數(shù)的最小值問題。那么如何求這種多z=2|x2|2|x

3、3||x4||x6||y1||y2||y3||y4||y5||y6|個絕對值和的函數(shù)的最小值問題呢？對此，筆者運(yùn)用以下方法進(jìn)行了探索研究，得出了解決這種問題的基本方法，以此與各位同仁商榷。一、利用函數(shù)圖象研究這類函數(shù)的值域，從而達(dá)到求函數(shù)的最值：由于含絕對值函數(shù)可以等價化為分段函數(shù)，因此運(yùn)用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值。例1求函數(shù)的最小值。y=|2x1|解：由于函數(shù)，12x1x2y=|2x1|=12x1x)2????????（（（作出其圖象如

4、右圖：由圖象可知其當(dāng)12x?時，原絕對值函數(shù)的最小值為0。例2求函數(shù)的最小值。|21||22|yxx????解：由于該函數(shù)，作出|21||22|yxx????14x1(x211=3(x)22141()2xx??????????????（其圖象如右圖所示。則當(dāng)時，其函數(shù)的最1122x??小值為3：最小值為。31xx?以上兩個結(jié)論可推廣到任意個絕對值的和的最值問題。結(jié)論如下：n推論推論1：對于函數(shù)12212123212||||||||()n

5、nnnyxxxxxxxxxxxxx??????????????????????當(dāng)且僅當(dāng)時，函數(shù)有最小值為1nnxxx???y21212211()()()()nnnnnnxxxxxxxx???????????????（）。nN??推論推論2：對于函數(shù)（）當(dāng)且僅當(dāng)1221||||||nyxxxxxx???????????????12321nxxxx????????時，函數(shù)有最小值（）nxx?y21122211()()()nnnnxxxxxx

6、?????????????nN??二二運(yùn)用以上推論，達(dá)到求函數(shù)最值的目的運(yùn)用以上推論，達(dá)到求函數(shù)最值的目的：下面我們來解以下高考試題：例1：（2011年陜西省理科高考試題第14題）植樹節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹，每人植一棵，相鄰兩棵樹相距10米，開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹坑出發(fā)前來領(lǐng)取樹苗往返所走的路程總和最小，這個最小值為分析分析：該題是一個實際應(yīng)用題，考查的知識點是絕對值求和的最值問題。先將

7、該題放在數(shù)軸上來研究。即將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，通過建立數(shù)學(xué)模型來解決此問題。解：以一段直線公路為軸，建立如圖所示的數(shù)軸坐標(biāo)系。x設(shè)領(lǐng)取樹苗的坐標(biāo)為時，每位同學(xué)前來x領(lǐng)取樹苗往返所走的路程和為米，則y，根據(jù)推論1可知：當(dāng)且僅當(dāng)米時，函數(shù)y=2|x10|2|x20|2|x30|2|x200|?AAA——100110x??有最小值：y=2|x10|2|x20|2|x30|2|x200|?AAA——2[(20010)(19020)(1803

8、0)(17040)(16050)(15060)(14070)(13080)(12090)(110100)]????????????????????=2000（米）或2[(10010)(10020)(10030)(10040)(10050)(10060)(10070)(10080)(10090)(100100)????????????????????|100110||100120||100130||100140||100150||1001

9、60||100170||100180||100190||100200|]???????????????????=2000（米）例2：（2009年上海高考數(shù)學(xué)試題）某地街道呈現(xiàn)東—西、南—北向的網(wǎng)絡(luò)格狀，相鄰街距都為1。兩街道相交的點稱為格點。若以互相垂直一兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)有下述格點（2，2），（3，1），（3，4），（2，3），（4，5）（6，6）為報刊零售點，請確定一個格點（除零售點外）為發(fā)行站，使6個零售點沿街道發(fā)行站