數(shù)學(xué)建模初等模型

1、初等模型,張文博北京郵電大學(xué)理學(xué)院,某航空母艦派其護(hù)衛(wèi)艦去搜尋其跳傘的飛 行員，護(hù)衛(wèi)艦找到飛行員后，航母通知它盡快 返回與其匯合并通報了航母當(dāng)前的航速與方 向，問護(hù)衛(wèi)艦應(yīng)怎樣航行，才能與航母匯合。,,艦艇的會合,即：,可化為：,,,（航母的路線方程）,（護(hù)衛(wèi)艦的路線方程 ）,由此關(guān)系式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)和θ2 的值。本模型雖簡單，但分析極清晰且易于實(shí)際應(yīng)用,在寒冷的北方， 許多住房的 玻璃窗都是雙層玻璃的，現(xiàn)在我們來建

2、立一個簡單 的數(shù)學(xué)模型，研究一下雙層玻璃到底有多 大的功效。比較兩座其他條件完全相同的房屋，它們 的差異僅僅在窗戶不同。,雙層玻璃的功效,設(shè)玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k1，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù) 為k2，單位時間通過單位面積由溫度高的一側(cè)流向溫度低的一側(cè)的熱量為Q,,,解得：,,此函數(shù)的圖形為,,,類似有,,一般,故,,記h=l/d并令f(h)=,考慮到美觀和使用上 的方便，h不必取得過大，例如，可 取h=3或4，即l=3d（或4d），此時房

3、屋熱量的損失不超過單層玻璃窗時的 4%-3% 。,假如你站在崖頂且身上帶著一只具有跑表功 能的計(jì)算器，你也許會出于好奇心想用扔下 一塊石頭聽回聲的方法來估計(jì)山崖的高度， 假定你能準(zhǔn)確地測定時間，你又怎樣來推算 山崖的高度呢，請你分析一下這一問題。,,崖高的估算,方法一,,我學(xué)過微積分，我可以做 得更好，呵呵。,,,令k=K/m，解得,代入初始條件 v(0)=0，得c=－g/k，故有,,再積分一次，得：,,,若

4、設(shè)k=0.05并仍設(shè) t=4秒，則可求 得h≈73.6米。,聽到回聲再按跑表，計(jì)算得到的時間中包含了 反應(yīng)時間,進(jìn)一步深入考慮,不妨設(shè)平均反應(yīng)時間 為0.1秒 ，假如仍 設(shè)t=4秒，扣除反應(yīng)時間后應(yīng) 為3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。,①,多測幾次，取平均值,再一步深入考慮,,,最小二乘法 插值方法,經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?最小二乘法,設(shè)經(jīng)實(shí)際測量已得 到n組數(shù)據(jù)（xi , yi），i=1,…, n。將數(shù)據(jù)畫在平面直角坐標(biāo)系中，

5、見 圖。如果建模者判斷 這n個點(diǎn)很象是分布在某條直線附近，令 該直線方程 為y=ax+b，進(jìn)而利用數(shù)據(jù)來求參 數(shù)a和b。由于該直線只是數(shù)據(jù)近似滿足的關(guān)系式，故 yi-(axi+b)=0一般不成立，但我們希望,,最小,,此式對a和b的偏導(dǎo)數(shù)均 為0，解相應(yīng)方程組，求得：,,,,例（舉重成績的比較）,模型1（線性模型）,模型2（冪函數(shù)模型）,模型3（經(jīng)典模型）,(1)舉重成績正比于選手肌肉的平均橫截 面積A，即L=k1A(2)A正比于

6、身高 l的平方，即 A=k2l2(3)體重正比于身高 l的三次方， 即B=k3l3,根據(jù)上述假設(shè)，可得,,,顯然，K越大則成績越好，故可用 來比較選手比賽成績的優(yōu)劣。,,,模型4（O’ Carroll公式）,(1) L=k1Aa, a<1 (2) A=k2lb, b<2 (3) B-Bo =k3l3,假設(shè)(1)、(2)是解剖學(xué)中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，在假設(shè) （3）中O’ Carroll將體

7、重劃分成兩部分：B=B0+B1，B0為非肌肉重量。,,,,故有：,根據(jù)三條假設(shè)可 得L=k(B-B0)β,k和β為兩個常數(shù)，,此外，根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果，他 得出B0≈35公斤，,模型5（Vorobyev公式）,,上述公式具有各不相同的基準(zhǔn)，無法相互比較。為了使公式具有可比性，需要對公式稍作處理。例如，我們可以要求各公式均滿足在 B=75公斤時有 L’=L，則上述各公式化為：,,,,,將公式（1）—（4）用來比較1976年奧運(yùn)會的抓舉成績，各

8、公式對九個級別冠軍成績的優(yōu)劣排序如表 所示，比較結(jié)果較為一致，例如，對前三名的取法是完全一致的，其他排序的差異也較為微小。,例2 體重與身高的 關(guān)系,插值方法,參數(shù)識別,例3 錄像帶還能錄多長時間,錄像機(jī)上有一個四位計(jì)數(shù)器，一盤 180分鐘的錄像帶在開始計(jì)數(shù)時為 0000，到結(jié)束時計(jì)數(shù)為1849，實(shí)際走時為185分20秒。我們從0084觀察到0147共用時間3分21秒。若錄像機(jī)目前的計(jì)數(shù)為1428，問是否還能錄下一個 60

9、分鐘的節(jié)目？,,,,,又 及 得,,積分得到,,,即,從而有,,,,,此式中的三個參數(shù)W、v和r均不易精確測得，雖然我們可以從上式解出t與n的函數(shù)關(guān)系，但效果不佳，故令 則可將上式簡化為：,,故,,t= an2+bn,上式以a、b為參數(shù)顯然是一個十分明智的做法，它為公式的最終確立即參數(shù)求解提供了方便。將已知條件代入，得方程組：,,從后兩式中消 去t1，

10、解得a=0.0000291, b=0.04646,故t=0.0000291 n2+0.04646n，令n=1428，得到t=125.69（分）由于一盒錄像帶實(shí)際可錄像時間為185.33分，故尚可錄像時間 為59.64分，已不能再錄下一個60分鐘的節(jié)目了。,量綱分析法建模,例 在萬有引力公式中，引力常數(shù)G是有量綱的，根據(jù)量綱齊次性，G的量綱為M-1L3T-2，其實(shí)，在一量綱齊次的公式中除以其任何一項(xiàng)，即可使其任何一項(xiàng)化為無量綱，因此任一

11、公式均可改寫成其相關(guān)量的無量綱常數(shù)或無量綱變量的函數(shù)。例如，與萬有引力公式 相關(guān)的物理量有：G、m1、m2、r和F?，F(xiàn)考察這些量的無量綱乘積 的量綱由于 是無量綱的量，故應(yīng)有：,,,,,,此方程組中存在兩個自由變量，其解構(gòu)成一個二維線性空間。?。╝,b）=（1,0）和（a,b）=（0,1），得到方程組解空間的一組基 （1,0,2,-2,-1）和（

12、0,1,-1,0,0），所有由這些量組成的無量綱乘積均可用這兩個解的線性組合表示。兩個基向量對應(yīng)的無量綱乘積分別為：,,而萬有引力定律則可寫 成f(π1,π2)=0，其對應(yīng)的顯函數(shù)為：π1=g(π2)，即,,萬有引力定律,定理2.1 （Backinghamπ定理）方程當(dāng)且僅當(dāng)可以表 示為 f（π1，π2…）=0時才是量綱齊次的，其中 f是某一函數(shù)，π1，π2…為問題所包含的變量與常數(shù)的無量 綱乘積。,,,,,例（理想單擺的

13、擺動周期）,考察質(zhì)量集中于距支點(diǎn)為 l 的質(zhì)點(diǎn)上的無阻尼 單擺，（如圖），其運(yùn)動為某周 期 t 的左右擺動，現(xiàn)希望得到周期 t 與其他量之間的 關(guān)系。,,,考察 ， 的量綱為MaLb+dTc-2b若 無量綱，則有,,,此方程組中不含 e，故（0, 0, 0, 0, 1）為一解，對應(yīng)的π1=θ即為無量綱量。為求另一個無綱量可 令b=1，求得（0，1，2，-1，0

14、），對應(yīng)有,,,,,其中,此即理想單擺的周期公式。當(dāng)然 k(θ)是無法求得的，事實(shí)上，需要用橢圓積分才能表達(dá)它。,,§2.7 賽艇成績的比較(比例模型),八人賽艇比賽和舉重比賽一樣，分 成86公斤的重量級和 73公斤的輕量級。1971年，T.A.McMahon比較了1964-1970年期間兩次奧運(yùn)會和兩次世錦賽成績，發(fā)現(xiàn) 86公斤級比73公斤級的成績大約好5%，產(chǎn)生這一差異的原因何在呢？,考察優(yōu)秀賽艇選手在比賽中

15、的實(shí)際表現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn)，整個賽程大致可以分三個階段， 即初始時刻的加速階 段、中途的勻速階段和到達(dá)終點(diǎn)的沖刺階段 。由于賽程較長，可以略去前后兩段而只考慮中間一段 ，為此，提出以下建模假設(shè)。,,,故,,,令WH=86,WL=73,則有由于SL略小于SH，故輕量級所化時間比重量級所化時間約 多5%左右。,,§2.8 方桌問題,將一張四條腿的方桌放在不平的地面上，不 允許將桌子移到別處，但允許其繞中心旋轉(zhuǎn) ，是否總能設(shè)法

16、使其四條腿同時落地？,不附加任何條件，答案 顯然 是否定的，,,,現(xiàn)在，我們來證明：如果上述假設(shè)條件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)作直角坐標(biāo)系如 圖所示，方桌的四條腿分別在A、B、C、D處，A、C的初始位置在x軸上，而B、D則在y軸上，當(dāng)方桌繞中 心0旋轉(zhuǎn)時，對角線 AC與x軸的夾角記為θ。容易看出，當(dāng)四條腿尚未全部著地時，腿到地面的距離是不確定的。為消除這一不確定性，令 f(θ)為A、C離地距離之和，g(θ

17、)為B、D離地距離之和，它們的值 由θ唯一確定。由假設(shè)（1），f(θ)、g(θ)均為θ的連續(xù)函數(shù)。又 由假設(shè)（3），三條腿總能同時著地， 故f(θ)g(θ)=0必成立（ θ）。不妨設(shè)f(0)=0,g(0)>0（若g(0)也為0，則初始時刻已四條腿著地，不必再旋轉(zhuǎn)），于是問題歸結(jié)為：,§2.9最短路徑與最速方案問題,例5（最短路徑問題）,設(shè)有一個半徑為 r 的圓形湖，圓心為 O。A、B 位于湖的兩側(cè)，AB連線過O，

18、見圖?，F(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限 制下，問怎樣的路徑最近。,以上只是一種猜測，現(xiàn)在來證明這一猜測是正確的。為此，先介紹一下凸集與凸集的性質(zhì)。,下面證明猜想,猜測證明如下：,還可用微積分方法求弧長，根據(jù)計(jì)算證明滿足限止條件的其他連續(xù)曲線必具有更大的長度；此外，本猜測也可用平面幾何知識加以證明等。,到此為止，我們的研討還只局限于平面之中，其實(shí)上述猜測可十分自然地推廣到一般空間中去。1973年，J.W.Craggs證明了以上

19、結(jié)果：,例6 一輛汽車停于 A處并垂直于AB方向，此汽車可轉(zhuǎn)的最小圓半徑為 R，求不倒車而由 A到B的最短路徑。,例7 駕駛一輛停于A處與AB成θ1角度的汽車到B處去，已知B處要求的停車方向必須 與 AB成θ2角，試找出最短路徑（除可轉(zhuǎn) 的最小圓半徑為R外，不受其他限止）。,最速方案問題,例8 將一輛急待修理的汽車由靜止開始沿一 直線方向推至相隔 S米的修車處，設(shè)阻力不 計(jì) ，推車人能使車得到的推力 f 滿足:-

20、B≤f≤A , f>0為推力，f<0為拉力。問怎樣推車可使車最快停于修車處。,,,此問題為一泛函極值問題，求解十分困難，為得出一個最速方案。我們作如下猜測：,,,? 圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在 用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來，人們一直沒有停止過求π的努力。,π的計(jì)算,古 典 方 法 分 析 方 法 其 它 方

21、法,? 概率方法? 數(shù)值積分方法,古典方法,用什么方法來計(jì) 算π的近似值呢？顯然，不可能僅根據(jù)圓周率的定義，用圓的周長去除以直徑。起先，人們采用的都是用圓內(nèi)接正多邊形和圓外切正多邊形來逼近的古典方法。,,,,6邊形,12邊形,24邊形,圓,? 阿基米德曾用圓內(nèi)接 96邊形和圓外切96邊形夾逼的方法證明了,由和 導(dǎo)出,? 公元5世紀(jì)，祖沖之指出,比西方得到同樣結(jié)果幾乎早了1000年,? 十五世紀(jì)中葉，阿爾·卡

22、西給出π的16位小數(shù)，打破了祖沖之的紀(jì)錄,? 1579年,韋達(dá)證明,? 1630年,最后一位用古典方法求π的人格林伯格也只求到了π的第39位小數(shù),分析方法,從十七世紀(jì)中葉起，人們開始用更先進(jìn)的分析方法來求π的近似值，其中應(yīng)用的主要工具是收斂的無窮乘積和無窮級數(shù)，在本節(jié)中我們將介紹一些用此類方法求π近似值的實(shí)例。,取,取,? 1656年，沃里斯(Wallis)證明,? 在微積分中我們學(xué)過泰勒級數(shù)，其中有,當(dāng),取,取,? 在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明過