微分方程模型（數(shù)學建模）

1、數(shù)學建摸課程,,,微分方程建模的思想和方法,微分方程建模的簡單實例,微分方程的平衡點與穩(wěn)定性,主要內(nèi)容,案例,第三章 微分方程方法,2,2024年4月2日,3,2024年4月2日,第三章 微分方程方法,微分方程是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，有著廣泛和實際的應用。微分方程建模主要有以下三種方法：根據(jù)已知規(guī)律建模利用高等數(shù)學中的微元分析法建模利用模擬近似法建模,4,2024年4月2日,開普勒三大定律：,太陽系每一顆行星的軌道皆以

2、太陽為一焦點的橢圓;行星的向徑在單位時間掃過的面積是一個常數(shù)；行星運動周期之平方與平均距離之立方成正比。,《數(shù)學的實踐與認識》2005.12,動態(tài)模型,描述對象特征隨時間(空間)的演變過程,分析對象特征的變化規(guī)律,預報對象特征的未來性態(tài),研究控制對象特征的手段,根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù),微分方程建模,根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設,按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程,5,2024年4月2日,6,2024年4月2日,一

3、、微分方程建模的思想和方法,凈變化率=輸入率-輸出率,當我們用微觀的眼光觀察實際問題時一般遵循如下的模式,（1）根據(jù)已知規(guī)律：利用數(shù)學、物理、力學、化學等經(jīng)過實踐檢驗的規(guī)律和定理；（2）利用微元法（3）利用模擬近似法：在社會科學、生物學、醫(yī)學、經(jīng)濟學的學科中一些現(xiàn)象的規(guī)律性我們不太清楚，需要在不同的假設下去模擬實際現(xiàn)象。如此建立的模型從數(shù)學上求解或分析后再與實際對比，觀察看這個模型是否能夠模擬、近似這些現(xiàn)象。,,7,2024年4月2

4、日,1. 估計死亡時間,二、微分方程建模的簡單實例,在凌晨1時警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體的溫度是29℃，當時環(huán)境的溫度是21℃.1h后尸體溫度下降到27℃，若人體正常的體溫是37℃，估計死亡時間。,8,2024年4月2日,,二、微分方程建模的簡單實例,1. 估計死亡時間,解方程得：,T(t)=29時，t=2.4094,這時求得的t是死者從死亡時間到尸體被發(fā)現(xiàn)所經(jīng)歷的時間。因此可得，死者的死亡時間大致在前一天晚上的10：35.,9,202

5、4年4月2日,2. 湖水的污染問題,如圖所示是一個容量為2000m3的一個小湖的示意圖，通過小河A，水以0.1m3/s的速度流入，以相同的流量湖水經(jīng)過B流出。在上午11:05時，因交通事故一個盛有毒性化學物質(zhì)的容器傾翻，在圖中X點處注入湖中。在采取緊急措施后，于11:35事故得到控制，但數(shù)量不詳?shù)幕瘜W物質(zhì)Z已瀉入湖中，初步估計Z的量在5～20m3之間。請建立一個模型，通過它來估計湖水污染程度隨時間的變化并估計：（1）湖水何時到達污染高

6、峰？（2）何時污染程度可降至安全水平（不大于0.05%）。,二、微分方程建模的簡單實例,A,B,X,小湖示意圖,10,2024年4月2日,2. 湖水的污染問題,二、微分方程建模的簡單實例,11,2024年4月2日,2. 湖水的污染問題,二、微分方程建模的簡單實例,Z取不同值時的濃度C（30）和時間T,13,2024年4月2日,三、微分方程的平衡點及穩(wěn)定性,微分方程所描述的是物質(zhì)系統(tǒng)的運動規(guī)律，實際中，人們只能考慮影響該過程的主要因素，

7、而忽略次要的因素，這種次要的因素稱為干擾因素?！　「蓴_因素在實際中可以瞬時地起作用，也可持續(xù)地起作用?！?問題：在干擾因素客觀存在的情況下，即干擾因素引起初值條件或微分方程的微小變化，是否也只引起對應解的微小變化？,有限區(qū)間的穩(wěn)定性、無限區(qū)間的穩(wěn)定性、漸進穩(wěn)定性、擾動下的穩(wěn)定性。,實際中，對于很多問題的微分方程模型并不需要求其一般解，而是需要求其某種理想狀態(tài)下的解，這種解稱為平衡點。,14,2024年4月2日,三 .微分方程的平衡

8、點及其穩(wěn)定性,１．平衡點的概念,15,2024年4月2日,三.微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,１．平衡點的概念,問題：如何來斷別平衡點的穩(wěn)定性呢？,16,2024年4月2日,三 .微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,１．平衡點的概念,17,2024年4月2日,三 .微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,2. 一階方程的平衡點及穩(wěn)定性,為什么？,18,2024年4月2日,三 .微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,3.平面方程的平衡點及穩(wěn)定性,19,2024年4月2日,

9、三 .微分方程的平衡點及其穩(wěn)定性,3.平面方程的平衡點及穩(wěn)定性,20,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,１．問題的提出,由于國與國之間和地區(qū)之間的種族歧視、民族矛盾、利益沖突、歷史遺留問題等原因造成了局部戰(zhàn)爭和地區(qū)性武裝沖突時有發(fā)生，有的長期處于敵對狀態(tài)，必然會導致敵對雙方的軍備競賽，軍事裝備現(xiàn)已成為決定戰(zhàn)爭勝負的重要因素．　　軍事裝備: 軍事實力的總和，主要包括武器裝備、電子信息裝備、軍事兵力、軍事費用等．,現(xiàn)代戰(zhàn)爭的特點是

10、多兵種的協(xié)同作戰(zhàn)，根據(jù)不同兵種的特點,在不同的區(qū)域參加戰(zhàn)斗，都對戰(zhàn)爭的結(jié)果產(chǎn)生一定的影響．,,21,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,１．問題的提出,現(xiàn)在要求建立數(shù)學模型討論的問題： (1) 分析研究引起軍備競賽的因素，并就諸多因素之間的相互關(guān)系進行討論； (2) 在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢進行評估分析. （3）分析研究作戰(zhàn)雙方的兵力消耗，并預測初始總兵力和戰(zhàn)斗力變化對作戰(zhàn)結(jié)果的影響。,22,2024年4月2

11、日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,2. 模型的假設,23,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,24,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,特征方程為：,p>0,q>0穩(wěn)定，q<0不穩(wěn)定.,25,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,26,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,27,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評

12、估問題,3. 模型的建立與求解,28,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,問題(2):在多兵種的作戰(zhàn)條件下，對作戰(zhàn)雙方的戰(zhàn)勢進行評估分析.,29,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,30,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,蘭徹斯特多兵種作戰(zhàn)模型．,31,2024年4月2日,戰(zhàn)爭的預測與評估問題,3. 模型的建立與求解,問題(3)作為思考題,參見蘭

13、徹斯特作戰(zhàn)模型.,32,2024年4月2日,SARS(嚴重急性呼吸道綜合癥, 俗稱:非典型肺炎)是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染?。?SARS的爆發(fā)和蔓延給部分國家和地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了一定的影響，人們從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓，認識到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預測和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性．,傳染病模型,１．問題的提出,描述傳染病的傳播過程,分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,預報傳染病高潮到來的時

14、刻,預防傳染病蔓延的手段,按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型,傳染病模型,1. 問題的要求,2024年4月2日,33,已感染人數(shù) (病人) i(t),每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為?,模型1,假設,若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加,建模,,,,?,2024年4月2日,34,模型2,區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假設,1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為,2）每個病人每天有效接觸人數(shù)為

15、?, 且使接觸的健康人致病,建模,,? ~ 日接觸率,SI 模型,2024年4月2日,35,每個每天可使λs(t)個健康人變成病人,模型2,tm~傳染病高潮到來時刻,? (日接觸率)? ? tm?,病人可以治愈！,?,t=tm, di/dt 最大,2024年4月2日,36,日接觸率λ表示該地區(qū)的衛(wèi)生水平，λ越小表示衛(wèi)生水平越高。所以改善保健設施、提高衛(wèi)生水平可以推遲傳染病高潮的到來。,,模型3,傳染病無免疫性——病人治愈成為健康

16、人，健康人可再次被感染,增加假設,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例為?,? ~日治愈率,建模,? ~ 日接觸率,1/? ~感染期,? ~ 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。,,2024年4月2日,37,接觸數(shù)? =1 ～閾值,感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù),模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例？,2024年4月2日,38,di/dt=0的穩(wěn)定平衡點,模型4,傳染病有免疫性——病人治愈后即

17、移出感染系統(tǒng)，稱移出者,SIR模型,假設,1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為,2）病人的日接觸率? , 日治愈率?, 接觸數(shù) ? = ? / ?,建模,需建立 的兩個方程,2024年4月2日,39,SIR模型,,2024年4月2日,40,對于病愈免疫移出者,相軌線 的定義域,在D內(nèi)作相軌線 的圖形，進行

18、分析,2024年4月2日,41,SIR模型,相軌線 及其分析,s(t)單調(diào)減?相軌線的方向,P1: s0>1/? ? i(t)先升后降至0,P2: s0<1/? ? i(t)單調(diào)降至0,1/?~閾值,2024年4月2日,42,SIR模型,預防傳染病蔓延的手段,? (日接觸率)? ? 衛(wèi)生水平?,?(日治愈率)? ? 醫(yī)療水平?,傳染病不蔓延的條件——s0<1/?,? 的估計,,降低 s0,提高 r0

19、,,提高閾值 1/?,2024年4月2日,43,SIR模型,被傳染人數(shù)的估計,記被傳染人數(shù)比例,,? 小, s0 ? ?1,提高閾值1/??降低被傳染人數(shù)比例 x,s0 - 1/? = ?,2024年4月2日,44,45,2024年4月2日,SARS的傳播問題,１．問題的提出,請你對SARS 的傳播建立數(shù)學模型，要求說明怎樣才能建立一個真正能夠預測，以及能為預防和控制提供可靠、足夠信息的模型，這樣做的困難在哪里？并對疫情傳播所造成的影

20、響做出估計.,46,2024年4月2日,實際中，SARS的傳染過程為： “易感人群→病毒潛伏人群→ 發(fā)病人群→退出者” 通過分析各類人群之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分方程模型來刻畫SARS傳染規(guī)律． 將SARS傳播過程分為控前和控后兩個階段．,SARS的傳播問題,2．問題的分析,47,2024年4月2日,在控前階段，SARS按自然

21、傳播規(guī)律傳播 ； 在控后階段，隨著人們防范措施的增強促使日傳染率減小，主要有兩方面的原因：　?。?）來自于因?qū)σ咔榈目只判睦?；　?。?）來自于防預政策、法律法規(guī)的頒布等．,SARS的傳播問題,2．問題的分析,48,2024年4月2日,SARS的傳播問題,3．模型的建立與求解,具體模型詳見教材。,參考文獻：[1]姜啟源、謝金星、葉俊，數(shù)學模型（第三版），高等教育出版社；[2]簫樹鐵、姜啟源等，大學數(shù)學（第二版）數(shù)學