高三數(shù)學(xué)復(fù)習----概率--知識點、題型方法

1、 1 綿陽市開元中學(xué)高 綿陽市開元中學(xué)高 2014 2014 級高三 高三二輪復(fù)習 輪復(fù)習 《計數(shù)原理與 計數(shù)原理與概率 概率及其分布列 及其分布列》知識點 》知識點、題型與方法 、題型與方法歸納 歸納 制卷：王小鳳 制卷：王小鳳 學(xué)生姓名： 學(xué)生姓名： 【計數(shù)原理 計數(shù)原理 知識梳理】 知識梳理】 一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理： 一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理： 分類計數(shù)原理：如果完成某事有幾

2、種不同的方法，這些方法間是彼此獨立的，任選其中一種方法都能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的和。 分步計數(shù)原理：如果完成某事，必須分成幾個步驟，每個步驟都有不同的方法，而—個步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個方法都可以連接，只有依次完成所有各步，才能達到完成此事的目的，那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的積。 區(qū)別： 如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事， 則選用分類計數(shù)原理， 即類與類之間

3、是相互獨 區(qū)別： 如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事， 則選用分類計數(shù)原理， 即類與類之間是相互獨立的，即“分類完成” ；如果只有當 立的，即“分類完成” ；如果只有當n 個步驟都做完，這件事才能完成，則選用分步計數(shù)原理，即步與 個步驟都做完，這件事才能完成，則選用分步計數(shù)原理，即步與步之間是相互依存的，連續(xù)的，即“分步完成” 。 步之間是相互依存的，連續(xù)的，即“分步完成” 。 二、排列與組合： 二、排列與組合： 1．排列與

4、組合的區(qū)別和聯(lián)系：都是研究從一些不同的元素中取出n 個元素的問題； 區(qū)別： 區(qū)別：前者有順序，后者無順序 前者有順序，后者無順序。 2．排列數(shù)的公式： 排列數(shù)的公式： ) ( )! (! ) 1 ( ) 2 )( 1 ( n m m nn m n n n n Amn ? ? ? ? ? ? ? ? ?注意： 注意：全排列： 全排列： ! n Ann ? ； 組合數(shù)的公式： 組合數(shù)的公式： ) ( )! ( !!!) 1 ( ) 2 )(

5、 1 ( n m m n mnmm n n n nAA C m mm n m n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?組合數(shù)的性質(zhì)： 組合數(shù)的性質(zhì)： ① m n nm n C C ? ?② 1 1 1? ? ? ? ? m nm nm n C C C3．排列、組合的應(yīng)用： 排列、組合的應(yīng)用： 解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題 抓住是排列問題還是組合問題，其次要搞清需要分類，還是需要分步 搞清需要分類，還是需要分

6、步 切記：排組分清 排組分清(有序排列、無序組合 有序排列、無序組合)，分類分步明確 ，分類分步明確 解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： 解排列組合的應(yīng)用題，通常有以下途徑： ①以元素為主，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素——特殊元素優(yōu)先法 ②以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置——特殊位置優(yōu)先法 ③先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)，再減不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)——間接法 4．對解組合問題，應(yīng)注意以下三點： 對

7、解組合問題，應(yīng)注意以下三點： ①對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎?，是解組合題的常用方法。 ②是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其前提是“正難則反” 。 ③命題設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。 5．解排列、組合題的基本策略與方法： 解排列、組合題的基本策略與方法： ①整體排除法 整體排除法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。 ②分類處理： ②分類處理：某些問題總

8、體不好解決時，常常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。這是解排列組合問題的基本策略之。注意的是：分類不重復(fù)不遺漏 分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。 ③分步處理： ③分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步 先分類，后分步。 ④插入法（插空法） ： ④插入法（插空法） ：某些元素不能相鄰 某

9、些元素不能相鄰采用插入法。即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。 ⑤“捆綁”法： ⑤“捆綁”法：要求某些元素相鄰 某些元素相鄰，把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁” ，將特殊元素在這些位置上全排列，即是“捆綁法” 。 【計數(shù)原理 計數(shù)原理 題型 題型應(yīng)用 應(yīng)用】 1．5 位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組，每位同學(xué)限報其中的一個小組，則不同的報名

10、方法共有( ) A．10 種 B．20 種 C．25 種 D．32 種 2．從 6 位男學(xué)生和 3 位女學(xué)生中選出 4 名代表，代表中必須有女學(xué)生，則不同的選法有( ) A．168 B．45 C．60 D．111 3．用 1,2,3,4,5 這 5 個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有( ) A．30 個 B．36 個 C．

11、40 個 D．60 個 4．某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同方法種數(shù)為( ) A．42 B．30 C．20 D．12 5．停車場上有一排七個停車位，現(xiàn)有四輛汽車需要停放，若要使三個空位連在一起，則停放方法數(shù)為（ ） A． 4 7 A B．3 7 A C．5 5 A

12、 D． 5 35 3 A A 6．有 4 位學(xué)生和 3 位老師站在一排拍照，任何兩位老師不站在一起的不同排法共有（ ） A．(4!)2 種 B．4!·3!種 C．3 4 A ·4!種 D．3 5 A ·4!種 7．用數(shù)字 1，2，3，4，5 可以組成沒有重復(fù)數(shù)字，并且比 20000 大的五位偶數(shù)共有（ ） A.48 個 B.36 個

13、 C.24 個 D.18 個 8．某市擬從 4 個重點項目和 6 個一般項目中各選 2 個項目作為本年度啟動的項目，則重點項目 A 和一般項目 B 至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是（ ） A．15 B．45 C．60 D．75 3 三、幾何概型 、幾何概型 1．幾何概型的定義 ．幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體

14、積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型． 2．幾何概型的概率公式 ．幾何概型的概率公式 P(A)＝ 構(gòu)成事件 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 的區(qū)域長度?面積或體積 面積或體積?試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度?面積 面積或體積 或體積?. （一）與長度、角度有關(guān)的幾何概型 （一）與長度、角度有關(guān)的幾何概型 1．在等腰直角△ABC 中，過直角頂點 C 在∠ACB 內(nèi)作一條射線 CD 與線段 A

15、B 交于點 D，則 AD<AC 的概率為___________. 2．已知圓 C：x2＋y2＝12，直線 l：4x＋3y＝25. (1)圓 C 的圓心到直線 l 的距離為________； (2)圓 C 上任意一點 A 到直線 l 的距離小于 2 的概率為________． （二）與面積有關(guān)的幾何概型 （二）與面積有關(guān)的幾何概型 1． （與線性規(guī)劃交匯）若不等式組? ? ?y≤x，y≥－x，2x－y－3≤0表示的平面區(qū)域為 M，x

16、2＋y2≤1 所表示的平面區(qū)域為 N，現(xiàn)隨機向區(qū)域 M 內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域 N 內(nèi)的概率為（ ） A． π12 B． π10 C．π6 D． π24 2．節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以 4 秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同 時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A．14 B．1

17、2 C．34 D．78 【變式】在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù)，則這兩個實數(shù)的和大于13的概率為( ) A．1718 B．79 C．29 D． 118 （三）與體積有關(guān)的幾何概型 （三）與體積有關(guān)的幾何概型 1． 在棱長為 2 的正方體 ABCD—A1B1C1D1 中， 點 O 為底面 ABCD的中心，在正方體 ABCD—A1B1C1D1 內(nèi)隨機取一點 P，則點 P 到點 O 的

18、距離大于 1 的概率為 ( ) A． π12 B．1－ π12 C．π6 D．1－π6 【離散型隨機變量的概率分布 離散型隨機變量的概率分布 知識梳理】 知識梳理】 1．離散型隨機變量 ．離散型隨機變量的相關(guān)概念 的相關(guān)概念 （1）隨機變量：如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用字母 X 、Y 、? 、? 等表示； （2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，

19、可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。若? 是隨機變量， a b ? ? ? ? （a 、b 是常數(shù)） ，則? 也是隨機變量。 （3）離散型隨機變量的分布列:設(shè)離散型隨機變量 X 可能取的值為 1 2 i x x x ??? ??? 、 ， X 取每一個值? ? 1,2, i x i ? ??? 的概率為 ? ? i i p x X P ? ? ，則稱表 為隨機變量 為隨機變量 X 的概率分布，簡稱 的概率分布，簡稱

20、 X 的分布列。 的分布列。 （4）離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì)： (1) 0 1,2, i p i ? ? ??? ， ； 1 2 (2) 1 P P ? ? ? 2．兩點分布： ．兩點分布：若隨機變量 X 的分布列為: 則稱隨機變量 X 服從兩點分布. 而稱 ? ? 1 ? ? X P p 為成功概率. 3．超幾何分布 超幾何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，

21、任取n 件，其中恰有 X 件次品，則 ( ) , 0,1, , min{ , }, , , .k n kM N M n NC C P X k k m m M n n N M N C? ? ? ? ? ??? ? ? ? 其中即 若隨機變量 X 的分布列如上表，則稱隨機變量 X 服從超幾何分布. 4．條件概率 條件概率：對任意事件 A 和事件 B ，在已知事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率，叫做條件概率。 記作 ?

22、? A B P ，讀作 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率。 條件概率計算公式 ? ? ? ?? ?? ?? ? A PAB PA nAB n A B P ? ?性質(zhì)： （1） ? ? 1 0 ? ? A B P（2）若 B 與C 為互斥事件，則 ? ? ? ? ? ? P B C A P B A P C A ? ? U? 1 x 2 x ? i x ? P 1 p 2 p ? i p ? X 0