2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、 1 綿陽市開元中學(xué)高 綿陽市開元中學(xué)高 2014 2014 級高三 高三二輪復(fù)習 輪復(fù)習 《計數(shù)原理與 計數(shù)原理與概率 概率及其分布列 及其分布列》知識點 》知識點、題型與方法 、題型與方法歸納 歸納 制卷:王小鳳 制卷:王小鳳 學(xué)生姓名: 學(xué)生姓名: 【計數(shù)原理 計數(shù)原理 知識梳理】 知識梳理】 一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理: 一、分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理: 分類計數(shù)原理:如果完成某事有幾

2、種不同的方法,這些方法間是彼此獨立的,任選其中一種方法都能達到完成此事的目的,那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的和。 分步計數(shù)原理:如果完成某事,必須分成幾個步驟,每個步驟都有不同的方法,而—個步驟中的任何一種方法與下一步驟中的每一個方法都可以連接,只有依次完成所有各步,才能達到完成此事的目的,那么完成此事的方法總數(shù)就是這些方法種數(shù)的積。 區(qū)別: 如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事, 則選用分類計數(shù)原理, 即類與類之間

3、是相互獨 區(qū)別: 如果任何一類辦法中的任何一種方法都能完成這件事, 則選用分類計數(shù)原理, 即類與類之間是相互獨立的,即“分類完成” ;如果只有當 立的,即“分類完成” ;如果只有當n 個步驟都做完,這件事才能完成,則選用分步計數(shù)原理,即步與 個步驟都做完,這件事才能完成,則選用分步計數(shù)原理,即步與步之間是相互依存的,連續(xù)的,即“分步完成” 。 步之間是相互依存的,連續(xù)的,即“分步完成” 。 二、排列與組合: 二、排列與組合: 1.排列與

4、組合的區(qū)別和聯(lián)系:都是研究從一些不同的元素中取出n 個元素的問題; 區(qū)別: 區(qū)別:前者有順序,后者無順序 前者有順序,后者無順序。 2.排列數(shù)的公式: 排列數(shù)的公式: ) ( )! (! ) 1 ( ) 2 )( 1 ( n m m nn m n n n n Amn ? ? ? ? ? ? ? ? ?注意: 注意:全排列: 全排列: ! n Ann ? ; 組合數(shù)的公式: 組合數(shù)的公式: ) ( )! ( !!!) 1 ( ) 2 )(

5、 1 ( n m m n mnmm n n n nAA C m mm n m n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?組合數(shù)的性質(zhì): 組合數(shù)的性質(zhì): ① m n nm n C C ? ?② 1 1 1? ? ? ? ? m nm nm n C C C3.排列、組合的應(yīng)用: 排列、組合的應(yīng)用: 解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題 抓住是排列問題還是組合問題,其次要搞清需要分類,還是需要分步 搞清需要分類,還是需要分

6、步 切記:排組分清 排組分清(有序排列、無序組合 有序排列、無序組合),分類分步明確 ,分類分步明確 解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑: 解排列組合的應(yīng)用題,通常有以下途徑: ①以元素為主,即先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素——特殊元素優(yōu)先法 ②以位置為主,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置——特殊位置優(yōu)先法 ③先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)——間接法 4.對解組合問題,應(yīng)注意以下三點: 對

7、解組合問題,應(yīng)注意以下三點: ①對“組合數(shù)”恰當?shù)姆诸愑嬎?,是解組合題的常用方法。 ②是用“直接法”還是“間接法”解組合題,其前提是“正難則反” 。 ③命題設(shè)計“分組方案”是解組合題的關(guān)鍵所在。 5.解排列、組合題的基本策略與方法: 解排列、組合題的基本策略與方法: ①整體排除法 整體排除法:對有限制條件的問題,先從總體考慮,再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。 ②分類處理: ②分類處理:某些問題總

8、體不好解決時,常常分成若干類,再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。這是解排列組合問題的基本策略之。注意的是:分類不重復(fù)不遺漏 分類不重復(fù)不遺漏。即:每兩類的交集為空集,所有各類的并集為全集。 ③分步處理: ③分步處理:與分類處理類似,某些問題總體不好解決時,常常分成若干步,再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時,常常既要分類,又要分步。其原則是先分類,后分步 先分類,后分步。 ④插入法(插空法) : ④插入法(插空法) :某些元素不能相鄰 某

9、些元素不能相鄰采用插入法。即先安排好沒有限制條件的元素,然后再將有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。 ⑤“捆綁”法: ⑤“捆綁”法:要求某些元素相鄰 某些元素相鄰,把相鄰的若干特殊元素“捆綁”為一個大元素,然后再與其余“普通元素”全排列,最后再“松綁” ,將特殊元素在這些位置上全排列,即是“捆綁法” 。 【計數(shù)原理 計數(shù)原理 題型 題型應(yīng)用 應(yīng)用】 1.5 位同學(xué)報名參加兩個課外活動小組,每位同學(xué)限報其中的一個小組,則不同的報名

10、方法共有( ) A.10 種 B.20 種 C.25 種 D.32 種 2.從 6 位男學(xué)生和 3 位女學(xué)生中選出 4 名代表,代表中必須有女學(xué)生,則不同的選法有( ) A.168 B.45 C.60 D.111 3.用 1,2,3,4,5 這 5 個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)共有( ) A.30 個 B.36 個 C.

11、40 個 D.60 個 4.某班新年聯(lián)歡會原定的 5 個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目,如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同方法種數(shù)為( ) A.42 B.30 C.20 D.12 5.停車場上有一排七個停車位,現(xiàn)有四輛汽車需要停放,若要使三個空位連在一起,則停放方法數(shù)為( ) A. 4 7 A B.3 7 A C.5 5 A

12、 D. 5 35 3 A A 6.有 4 位學(xué)生和 3 位老師站在一排拍照,任何兩位老師不站在一起的不同排法共有( ) A.(4!)2 種 B.4!·3!種 C.3 4 A ·4!種 D.3 5 A ·4!種 7.用數(shù)字 1,2,3,4,5 可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比 20000 大的五位偶數(shù)共有( ) A.48 個 B.36 個

13、 C.24 個 D.18 個 8.某市擬從 4 個重點項目和 6 個一般項目中各選 2 個項目作為本年度啟動的項目,則重點項目 A 和一般項目 B 至少有一個被選中的不同選法種數(shù)是( ) A.15 B.45 C.60 D.75 3 三、幾何概型 、幾何概型 1.幾何概型的定義 .幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體

14、積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型. 2.幾何概型的概率公式 .幾何概型的概率公式 P(A)= 構(gòu)成事件 構(gòu)成事件A的區(qū)域長度 的區(qū)域長度?面積或體積 面積或體積?試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度 試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度?面積 面積或體積 或體積?. (一)與長度、角度有關(guān)的幾何概型 (一)與長度、角度有關(guān)的幾何概型 1.在等腰直角△ABC 中,過直角頂點 C 在∠ACB 內(nèi)作一條射線 CD 與線段 A

15、B 交于點 D,則 AD<AC 的概率為___________. 2.已知圓 C:x2+y2=12,直線 l:4x+3y=25. (1)圓 C 的圓心到直線 l 的距離為________; (2)圓 C 上任意一點 A 到直線 l 的距離小于 2 的概率為________. (二)與面積有關(guān)的幾何概型 (二)與面積有關(guān)的幾何概型 1. (與線性規(guī)劃交匯)若不等式組? ? ?y≤x,y≥-x,2x-y-3≤0表示的平面區(qū)域為 M,x

16、2+y2≤1 所表示的平面區(qū)域為 N,現(xiàn)隨機向區(qū)域 M 內(nèi)拋一粒豆子,則豆子落在區(qū)域 N 內(nèi)的概率為( ) A. π12 B. π10 C.π6 D. π24 2.節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以 4 秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同 時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過 2 秒的概率是( ) A.14 B.1

17、2 C.34 D.78 【變式】在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個實數(shù),則這兩個實數(shù)的和大于13的概率為( ) A.1718 B.79 C.29 D. 118 (三)與體積有關(guān)的幾何概型 (三)與體積有關(guān)的幾何概型 1. 在棱長為 2 的正方體 ABCD—A1B1C1D1 中, 點 O 為底面 ABCD的中心,在正方體 ABCD—A1B1C1D1 內(nèi)隨機取一點 P,則點 P 到點 O 的

18、距離大于 1 的概率為 ( ) A. π12 B.1- π12 C.π6 D.1-π6 【離散型隨機變量的概率分布 離散型隨機變量的概率分布 知識梳理】 知識梳理】 1.離散型隨機變量 .離散型隨機變量的相關(guān)概念 的相關(guān)概念 (1)隨機變量:如果隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示,那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用字母 X 、Y 、? 、? 等表示; (2)離散型隨機變量:對于隨機變量可能取的值,

19、可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量。若? 是隨機變量, a b ? ? ? ? (a 、b 是常數(shù)) ,則? 也是隨機變量。 (3)離散型隨機變量的分布列:設(shè)離散型隨機變量 X 可能取的值為 1 2 i x x x ??? ??? 、 , X 取每一個值? ? 1,2, i x i ? ??? 的概率為 ? ? i i p x X P ? ? ,則稱表 為隨機變量 為隨機變量 X 的概率分布,簡稱 的概率分布,簡稱

20、 X 的分布列。 的分布列。 (4)離散型隨機變量的分布列都具有下面兩個性質(zhì): (1) 0 1,2, i p i ? ? ??? , ; 1 2 (2) 1 P P ? ? ? 2.兩點分布: .兩點分布:若隨機變量 X 的分布列為: 則稱隨機變量 X 服從兩點分布. 而稱 ? ? 1 ? ? X P p 為成功概率. 3.超幾何分布 超幾何分布: 一般地,在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中,

21、任取n 件,其中恰有 X 件次品,則 ( ) , 0,1, , min{ , }, , , .k n kM N M n NC C P X k k m m M n n N M N C? ? ? ? ? ??? ? ? ? 其中即 若隨機變量 X 的分布列如上表,則稱隨機變量 X 服從超幾何分布. 4.條件概率 條件概率:對任意事件 A 和事件 B ,在已知事件 A 發(fā)生的條件下事件 B 發(fā)生的概率,叫做條件概率。 記作 ?

22、? A B P ,讀作 A 發(fā)生的條件下 B 發(fā)生的概率。 條件概率計算公式 ? ? ? ?? ?? ?? ? A PAB PA nAB n A B P ? ?性質(zhì): (1) ? ? 1 0 ? ? A B P(2)若 B 與C 為互斥事件,則 ? ? ? ? ? ? P B C A P B A P C A ? ? U? 1 x 2 x ? i x ? P 1 p 2 p ? i p ? X 0

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