專題抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用

1、抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用抽象函數(shù)是指沒有明確給出具體的函數(shù)表達式，只是給出一些特殊關(guān)系式的函數(shù)。它是高中數(shù)學中的一個難點，因為抽象，解題時思維常常受阻，思路難以展開，而高考中會出現(xiàn)這一題型，本文對抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性問題進行了整理、歸類，大概有以下幾種題型：一、判斷單調(diào)性和奇偶性1.判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。例1如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)且有最小值為5，那fx()[]

2、37，么在區(qū)間上是fx()[]??73，A.增函數(shù)且最小值為B.增函數(shù)且最大值為?5?5C.減函數(shù)且最小值為D.減函數(shù)且最大值為?5?5分析：畫出滿足題意的示意圖，易知選B。例2偶函數(shù)在上是減函數(shù)，問在上fx()(0)，??fx()()??，0是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖所示，易知在上是增函數(shù)，證明如下：fx()()??，0任取xxxx121200???????因為在上是減函數(shù)，所以fx()(0)，??。fxfx()(

3、)???12又是偶函數(shù)，所以fx()，fxfxfxfx()()()()????1122，從而，故在上是增函數(shù)。fxfx()()12?fx()()??，02.判斷奇偶性根據(jù)已知條件，通過恰當?shù)馁x值代換，尋求與的關(guān)系。fx()fx()?例3若函數(shù)與的圖象關(guān)于原點對稱，判斷：函數(shù)yfxfx??()(())0yfx??()是什么函數(shù)。yfx?()y5O7337x5yOxf(x)是R上的增函數(shù)?例5已知對一切，滿足，且當時，fx()xy，ffxy

4、fxfy()()()()00????，x?0，求證：（1）時，（2）在R上為減函數(shù)。fx()?1x?001??fx()；fx()證明：對一切有。?xyR，?fxyfxfy()()()???且，令，得，f()00?xy??0f()01?現(xiàn)設(shè)，則，，x?0??x0fx()??1而ffxfx()()()01????????fxfx()()11，???01fx()設(shè)且，xxR12，?xx12?則0121???fxx()，fxfxxx()[()]

5、2211???????fxxfxfx()()()2111，??fxfx()()12即為減函數(shù)。fx()2.證明奇偶性例6已知的定義域為R，且對任意實數(shù)x，y滿足，求證：fx()fxyfxfy()()()??是偶函數(shù)。fx()分析：在中，令，fxyfxfy()()()??xy??1得ffff()()()()11110????令，得xy???1ffff()()()()11110???????于是fxfxffxfx()()()()()????