函數(shù)的奇偶性

1、1函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性【學(xué)習(xí)目標學(xué)習(xí)目標】1.理解函數(shù)的奇偶性定義；2.會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；3.掌握利用函數(shù)性質(zhì)在解決有關(guān)綜合問題方面的應(yīng)用.【要點梳理要點梳理】要點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟要點一、函數(shù)的奇偶性概念及判斷步驟1函數(shù)奇偶性的概念函數(shù)奇偶性的概念偶函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：若對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)稱

2、為奇函數(shù).要點詮釋：要點詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）x在定義域中，那么x在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點對稱的；（3）f(x)=f(x)的等價形式為：，()()()01(()0)()fxfxfxfxfx??????f(x)=f(x)的等價形式為：；()()()01(()0)()fxfxfxfxfx???????，（4）由定義不難得出若一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，則必有f(0)=0；（5）若f(x)既是奇

3、函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有f(x)=0.2.2.奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個函數(shù)是奇函數(shù)，則這個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；反之，如果一個函數(shù)的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形，則這個函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對稱；反之，如果一個函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱，yy則這個函數(shù)是偶函數(shù).3.3.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，

4、判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不關(guān)于原點對稱，則該函數(shù)既()fx不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點對稱，則進行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)的解析式；()fx()fx（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.()fx?()fx?()fx()fx若=，則是奇函數(shù)；()fx?()fx()fx若=，則是偶函數(shù)；()fx?()fx()fx若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；()fx?()fx??()fx若且=，則既是奇函數(shù)

5、，又是偶函數(shù)()fx?()fx?()fx?()fx()fx3(2)對任意x∈R，都有x∈R，且f(x)=x24|x|3=f(x)，則f(x)=x24|x|3為偶函數(shù)；(3)∵x∈R，f(x)=|x3||x3|=|x3||x3|=f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)；(4)????21x11x0x1001x0x4x22??????????????????且2211()(2)2xxfxxx????，∴f(x)為奇函數(shù)；221()1()()xxfxf

6、xxx????(5)∵x∈R，f(x)=x|x|x∴f(x)=(x)|x|(x)=x|x|x=f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)；(6)，∴f(x)為奇函數(shù).11()()[()][()()]()22fxgxgxgxgxfx????【總結(jié)升華】判定函數(shù)奇偶性容易失誤是由于沒有考慮到函數(shù)的定義域.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件，因此研究函數(shù)的奇偶性必須“堅持定義域優(yōu)先”的原則，即優(yōu)先研究函數(shù)的定義域，否則就會做無用功.如在本例

7、（4）中若不研究定義域，在去掉的絕對值符號時就十|2|x?分麻煩.舉一反三：舉一反三：【變式1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)；(2)；(3)；23()3xfxx??()|1||1|fxxx????222()1xxfxx???(4).22x2x1(x0)f(x)0(x0)x2x1(x0)??????????????【答案】（1）奇函數(shù)；（2）偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【解析】(1)的定義域是，()fxR又，是奇函數(shù)223()