代數學的新生 (1)

1、數學史概論,主講： 徐澤林天津師范大學數學科學學院,http://59.67.71.237:8080/006/index.htmzelinxu@Sohu.com,,序言§8.1 代數方程的可解性與群的發(fā)現§8.2 從四元數到超復數§8.3 布爾代數§8.4 代數數論,第八章 代數學的新生,（十九世紀數學之一）,序言,(一)、18世紀的數學悲觀主義,從17世紀初開始，數

2、學經歷了近兩個世紀的開拓，在18世紀行將結束的時候，數學家們對自己從事的這門科學卻奇怪地存在著一種普遍的悲觀情緒。拉格朗日于1781年在寫給達朗貝爾的信中說：“在我看來似乎（數學的）礦井已經挖掘很深了，除非發(fā)現新的礦脈，否則遲早勢必放棄它，……科學院中幾何學（指數學）的處境將會有一天變成目前大學里阿拉伯語的處境一樣，那也不是不可能的?！睔W拉和達朗貝爾都同意拉格朗日的觀點。法國法蘭西學院一份《關于1789年以來數學科學進展的歷史及其現狀的

3、報告》更是預測在數學的“幾乎所有的分支里，人們都被不可克服的困難阻擋住了；把細枝末節(jié)完善化看來是剩下來惟一可做的事情了，所有這些困難好象是宣告我們的分析的力量實際上是已經窮竭了”。 這種世紀末悲觀主義的由來，可能是因為17、18世紀數學與天文力學的緊密結合，使部分數學家把天文與力學看成是數學發(fā)展的幾乎惟一源泉，而一旦這種結合變得相對滯緩和暫時進入低谷，就會使人感到迷失方向。 18世紀末出現的數學悲觀主義具有深刻的認識論背景。,(

4、二)、數學發(fā)展的動力,(三)、18世紀末數學悲觀內部遺留的問題,從根本上說，數學的發(fā)展與人類的生產實踐和社會需求密切相關，對自然的探索是數學研究最豐富的源泉。但是，數學的發(fā)展對于現實世界又表現出相對的獨立性。一種數學理論一經建立，便可基于邏輯思維向前推進，并由此導致新理論與新思想的產生。因此，內在的邏輯需要也是數學進步的重要動力之一。過于看重數學進展對現實需要的依賴，而忽視數學發(fā)展的內在動力，難免產生對數學發(fā)展前景的悲觀預見.

5、 生產實踐的需要 數學發(fā)展的動力 數學內部的矛盾 數學家的求知欲,,實際上，就在18世紀后半葉，數學內部悄悄積累的矛盾已經開始醞釀新的變革。當時的數學家們面臨著一系列數學自身產生的、長期懸而未決的問題，其中最突出的是： （1

6、）高于四次的代數方程的根式求解問題； （2）歐幾里得幾何中平行公理的證明問題； （3）牛頓、萊布尼茲微積分算法的邏輯基礎問題。在19世紀初，這些問題已變得越發(fā)尖銳而不可回避。,§8.1 代數方程的可解性與群的發(fā)現,發(fā)現者：阿貝爾 伽羅瓦發(fā)展者：凱萊 若爾當 F.克萊因 李,中世紀的阿拉伯數學家把代數學看成是解代數方程的學問。直到19世紀初，代數研究仍未超出這個范圍。不

7、過這時數學家們的注意力集中在了五次和高于五次的代數方程上。 二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。中世紀，阿拉伯數學家將二次方程的理論系統(tǒng)化。三、四次方程的求解在文藝復興時期獲得解決。接下來，讓人關心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個半世紀內，很少有人懷疑五次代數方程根式解法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。二次方程的解法古巴比倫人就已掌握。中世紀，阿拉伯數學家將二次方程的理論系統(tǒng)

8、化。三、四次方程的求解在文藝復興時期獲得解決。接下來，讓人關心的自然是一般的五次或更高次的方程求解。在解出三、四次方程后的整整兩個半世紀內，很少有人懷疑五次代數方程根式解法的存在性。但是尋求這種解法的努力卻都以失敗而告終。,Niels Henrik Abel(1802～1829）,挪威數學家。1802年8月5日生于芬島一個牧師家庭,1829年4月6日卒于弗魯蘭。13歲入奧斯陸一所教會學校學習,年輕的數學教師B.M.霍爾姆博發(fā)現了阿貝爾

9、的數學天才,對他給予指導。少年時,阿貝爾就已經開始考慮一些數學問題。1821年在一些教授資助下,入奧斯陸大學。在學校里,他幾乎全是自學,同時花大量時間作研究。1824年,他解決了用根式求解五次方程的不可能性問題。為了能有更多的讀者,他的論文以法文寫成,也送給了C.F.高斯,可是在外國數學家中沒有任何反響。1825年,他去拍林,結識了A.L.克雷爾,并成為好友。他鼓勵克雷爾創(chuàng)辦了著名的數學刊物《純粹與應用數學雜志》。第1卷（1826）刊登

10、了7篇阿貝爾的文章,其中有一般五次方程用根式不能求解的證明。以后各卷也有很多他的文章。1826年阿貝爾到巴黎,遇見了A.M.勒讓德和A.L.柯西等著名數學家。他寫了一篇關于橢圓積分的論文,提交給法國科學院,不幸未得到重視,他只好又回到拍林。克雷爾為他謀求教授職位,沒有成功。1827年阿貝爾貧病交迫地回到了挪威,靠作家庭教師維生。直到阿貝爾去世前不久,人們才認識到他的價值。,1828年,四名法國科學院院士上書給挪威國王,請他為阿貝爾提供合

11、適的科學研究位置,勒讓德也在科學院會議上對阿貝爾大加稱贊。次年4月6日,不到27歲的阿貝爾就病逝。柏林大學邀請他擔任教師的信件在他去世后的第二天才送出。此后榮譽和褒獎接踵而來,1830年他和C.G.J.雅可比共同獲得法國科學院大獎。 阿貝爾在數學方面的成就是多方面的。除了五次方程之外,他還研究了更廣的一類代數方程,后人發(fā)現這是具有交換的伽羅瓦群的方程。為了紀念他,后人稱交換群為阿貝爾群。阿貝爾還研究過無窮級數,得到了一些判

12、別準則以及關于冪級數求和的定理。這些工作使他成為分析學嚴格化的推動者。,8.1.1 阿貝爾,阿貝爾和雅可比是公認的橢圓函數論的奠基者。阿貝爾發(fā)現了橢圓函數的加法定理、雙周期性、并引進了橢圓積分的反演。他研究了形如∫R(x,y)dx的積分(現稱阿爾貝積分)，其中R（x, y）是x 和y 的有理函數,且存在二元多項式f, 使 f ( x , y)=0。他還證明了關于上述積分之和的定理,現稱阿貝爾定理,它斷言:若干個這種積分之和可以用g個這

13、種積分之和加上一些代數的與對數的項表示出來,其中g只依賴于f,就是f的虧格。阿貝爾這一系列工作為橢圓函數論的研究開拓了道路,并深刻地影響著其他數學分支。C.埃爾米特曾說:阿貝爾留下的思想可供數學家們工作150年。,阿貝爾銅像,阿貝爾中學時代的筆記,Evariste Galois (1811～1832）,8.1.2 伽羅瓦,盡管1824年阿貝爾完全證實了拉格朗日的命題：“不可能用根式解四次以上方程”，粉粹了人們對根式求解五次以上代數

14、方程的奢望，而且沒有忘記給出一些特殊的能用根式求解的方程，其中的一類現在被稱為“阿貝爾方程”。在此過程中，阿貝爾已在實際上引進了“域”這一重要的近世代數思想。 然而數學家們并不滿足，他們又開始追問：究竟什么樣的特殊方程能夠用根式來求解？在其1829-1831年間完成的幾篇論文中，一位同樣年青的法國數學家伽羅瓦對此做出了解答。,伽羅瓦的思想是將一個n次方程,的n個根（由代數基本定理可知）x1、 x2 、 …、 xn作為一個整體來考察，

15、并研究它們之間的排列或稱“置換”。,為了容易理解起見，我們以四次方程的四個根x1、 x2 、 x3 、 x4為例，在包含這些 xi 的任何表達式中交換 x1和 x2 就是一個置換，用,來表示。另一個置換用,表示。第一個置換后再實行第二個置換，等價于實行第三個置換,我們說頭兩個置換按上述順序作成的“乘積”就是第三個置換，即P1· P2 = P3 .對于四次方程的情形，易知共有4！=24個可能的置換。這些置換的全體構成一個

16、集合，而其中任意兩個置換的乘積仍是原來集合中的一個置換，伽羅瓦稱之為“群”。這是歷史上最早的“群”的定義，不過它只是針對一個具體的群（置換群）所作的定義，還不是抽象群的一般定義。但伽羅瓦正是利用他提出的群的概念來解決方程根式可解性問題的。 進一步考慮一個方程根的置換群中某些置換組成的“子群”。這個群，伽羅瓦稱之為“方程的群”，也就是我們今天所說的“伽羅瓦群”。它的含義如下：考慮由方程系數的 有限次加、減、乘、除運算可能得到的一

17、切表達式的集合。這個集合，現在叫方程的“基本域”，并記為 F = Q ( a1, a2 , … , an )， Q為有理數域， a1, a2 , … , an 是方程的系數，但伽羅瓦沒有用“域”這個名稱。伽羅瓦群就是由方程的根的置換群中這樣一些置換構成的子群，這些置換保持方程的根以 F 的元素為系數的全部代數關系不變。我們以四次方程為例來說明這個重要的概念。,設方程,，其中 p、 q 是獨立的，令F 是 p , q的有理表達式,形成

18、的域（基本域），如,就是這樣一個表達式。這個方程的四個根：,是我們已經知道的，并且容易看出這些根的系數在F中的下列兩個關系成立： x1 + x2 = 0, x3 + x4 = 0 ,可以驗證，在方程根的所有24個可能置換中，下面8個置換,都能使上述兩個關系在 F 中保持成立，并且這8個置換是24個置換中，使根之間在域F中的全部代數關系都保持不變的僅有的置換。這8個置換就是方程在域F

19、中的群，即伽羅瓦群。 需要指出，保持根的代數關系不變，就意味著在此關系中根的地位是對稱的。因此，伽羅瓦群刻畫了方程的根的對稱性。伽羅瓦于是指出，方程的群（即伽羅瓦群）與它是否根式可解存在著本質聯系，對方程的群的認識，是解決全部根式可解問題的關鍵。伽羅瓦證明，當且僅當方程的群滿足一定的條件（即方程的群是可解群）時，方程才是根式可解的，也就是他找到了方程根式可解的充分必要條件。 伽羅瓦攻克的難題雖然是三百年前的老問題,

20、但他的思想卻遠遠超出了他的時代。他的工作可以看成是近世代數的發(fā)端。這不只是因為它解決了方程根式可解性這樣一個難題，更重要的是群概念的引進導致了代數學在對象、內容和方法上的深刻變革。,伽羅瓦之后，數學家們逐漸認識到“群”可以是一個更加普遍的概念，而不必僅限于置換群。 凱萊（A .Cayley）在1849-1854年間指出了矩陣在乘法下、四元數在加法下都構成群，人們還發(fā)現高斯在數論中研究過的具有同一判別式的二次型類

21、 f = ax2 + 2bxy + cy2 (a, b, c 為整數，x, y 取整數值，D = b2 – ac 取固定值)對于型的合成運算也構成群。 1868-1869年間，若爾當（C.Jordan）在物理學家布拉維斯(A.Bravais)關于運動群的理論的啟發(fā)下開展了無限群（即有無限多個元素的群）的系統(tǒng)研究。 若爾當的工作影響克萊因(F.Klein)關于幾何分類中的無限變換群的研究。

22、 1874-1883年間, 挪威數學家李(S.Lie,1842-1899 )又研究了無限連續(xù)變換群（李群）。,Arthur Cayley,Camille Jordan,Felix Christian Klein 1849--1925,Sophus Lie,在抽象的群概念中，其元素本身的具體內容已無關緊要，關鍵是聯系這些元素的運算關系。這樣建立起來的一般群論也就成了描寫其他各種數學和物理現象的對稱性質的普遍工具。在

23、19世紀末，群論已被應用于晶體結構的研究，在現代物理中，群論更成為研究基本粒子、量子力學的有力武器。 代數學由于群的概念的引進和發(fā)展而獲得新生，它不再僅僅是研究代數方程，而更多地是研究各種抽象對象的運算關系，從而為20世紀代數結構觀念的產生奠定了基礎。,到19世紀80年代，關于各種不同類型的群的研究使數學家們有了足夠的積累來形成抽象群的概念：,（A） 封閉性： 對于運算 * ,? a , b ? R，則a *

24、 b = c ? R ；（B） 結合性： 對于運算 * ，? a ，b ，c ? R， 則（a * b ） * c = a * （ b * c ） ； （C） 存在單位元： ? I ? R，使 I * a = a * I = a ; （D） 存在逆元： ? a ? R，則 ? a -1 ? R，使 a * a -1 = a -1 * a =

25、 I .,§8.2 從四元數到超復數,8.2.1 19世紀初復數的幾何表示 四元數的發(fā)現是繼伽羅瓦提出群的概念后，19世紀代數學最重大的事件。四元數是推廣平面復數系結構的產物。 18末19世紀初，韋塞爾、阿爾岡和高斯等人給出了復數 a + bi (a，b 為實數)的幾何表示，這樣復數才有了合法地位。在稍微熟悉了復數的幾何表示之后，數學家們認識到復數能用來表示和研究平面上的向量。,,,O,a,,,

26、,b,y,x,8.2.2 空間向量及其運算 向量概念在物理學上十分重要，力、速度或加速度這些有大小和方向的量都是向量，而人們很早就已知道向量的合成服從平行四邊形法則。數學家們發(fā)現兩個復數相加的結果正好對應于平行四邊形法則相加的向量和。用復數來表示向量及其運算有一個很大的優(yōu)點，那就是，人們從此不必幾何地作出向量運算，就能通過代數的方法研究它們。這就像方程能用來表示和研究曲線而帶給人們方便一樣。然而事實卻使數學家們很快發(fā)覺，他們無

27、法在三維情況下找到復數的一個類似物。,,,,,,,,O,Sir William Rowan Hamilton,8.2.3 哈密頓對復數的推廣 在尋找復數三維推廣的數學家中，愛爾蘭數學家哈密頓也是其中一員。他在1837年曾把復數處理成實數的有序數偶，并希望通過推廣這種有序數偶的思想，來達到自己的目的。如此結過15年的努力，他終于發(fā)現自己所要找的新數組應包含四個分量，而且必須放棄乘法的交換性。他把這種新數組命名為四元數?！?

28、 哈密頓的四元數形如 a + b i + c j + d k，其中a , b ,c , d為實數，i，j，k滿足　 i 2 = j 2 = k 2 = -1 ;　 ij = -ji = k , jk = -kj =i , ki = -ik = j兩個四元數相乘可以根據上面的規(guī)則仿照復數乘法那樣去做，例如，設 p =1+2i + 3j + 4k , q = 4+3i

29、+2j + k,則 pq =(1+2i + 3j + 4k )(4+3i +2j + k ) = -12 + 6i + 24j + 12k qp =(4+3i +2j + k) (1+2i + 3j + 4k ) = -12 + 16i + 4j + 22k,可見，但哈密頓證明了四元數乘法具有“結合性”，這是第一次使用這個術語。 四元數也是歷史上第一次

30、構造的不滿足乘法交換律的數系。四元數本身雖然沒有廣泛的應用，但它對于代數學的發(fā)展來說是革命性的。哈密頓的作法啟示了數學家們，他們從此可以更加自由地構造新的數系，通過減弱、放棄或替換普通代數中的不同定律和公理，就為眾多代數系的研究開辟了道路。,由四元數構成的Jyuria集合,在哈密頓之后，各種新的超復數像雨后春筍般涌現出來。 事實上，就在哈密頓建立四元數的同時，一位德國數學家格拉斯曼也在試圖對復數作出推廣，與哈密頓相比，格

31、拉斯曼的推廣更為大膽。他實際上涉及的是n維向量空間。他的“擴張的量”就是一種有n個分量的超復數。例如：當 n = 3 時，考慮兩個超復數 ? = a1e1 + a2e2 + a3e3 , ? = b1e1 + b2e2 + b3e3 其中， ai 和 bi 是實數， ei 是基元素，格拉斯曼定義它們的加減法為 ? ? ? = (a1? b1 ) e1 (a2? b2 ) e2 + (a3? b3 ) e3

32、 , 而對于乘法則定義了兩種，一種稱為內積，另一種稱為外積。對于內積，他假設 ei ?ei = 1, ei ?ej = 0, i ? j , 所以 ? ?? = a1b1 + a2 b2 + a3 b3 ,并且有? ?? = ? ?? .,8.2.4 格拉斯曼,Hermann Grassmann,對于外積，他假設 [eiei ] = 0, [eiej ] = - [ej ei] , i ? j

33、, 所以 [?? ]= (a2 b3 － a3 b2 ) [e2e3] + (a3 b1 － a1 b3 ) [e3e1] + (a1 b2 － a2 b21 ) [e1e2] , 顯然 [?? ] ? [??] . 格拉斯曼還討論了超復數之間的混合積。在1855年的一篇文章中，格拉斯曼對超復數給出了16種不同類型的乘積。他對這些乘積作了幾何解釋，并給出了它們在力學、磁學和結晶學等方面的應用。,麥克斯韋

34、,8.2.5 吉布斯與亥維賽,將復數推廣到超復數的一個重要動力原本來源于物理中力學計算的需要。格拉斯曼的超復數在一定程度上滿足了這種需要，但他的工作在相當長的一段時間里被人忽視了。四元數倒是很快吸引了人們的注意力，但它卻不適合物理學家的需要。將四元數改造成物理學家所需要的工具的第一步，是由英國數學物理學家麥克斯韋邁出的。他將四元數結構區(qū)分為數量部分和向量部分，并在此基礎上創(chuàng)造了大量的向量分析，不過他還是沒有把向量與四元數完全分開，仍然

35、經常把四元數作為基本的數學實體。,獨立于四元數的三維向量代數和向量分析，是在19世紀80年代初由美國數學物理學家吉布斯和英國數學物理學家亥維賽創(chuàng)立的。他們兩人對這個課題的發(fā),展結果，除了記法外本質上是一致的。根據他們提出的思想，一個向量只是四元數的向量部分，但獨立于任何四元數。因此，向量 v = ai+bj+ck 其中i，j，k 是分別沿軸x, y, z的單位向量，a,b,c是三個實數，稱為向量的分量。兩個向量的和仍是一個向量，它的分量

36、就是相加的兩個向量相應分量的和。向量的乘法有兩種，一種是數量乘法，用“ · ”表示，也稱為“點乘”，在這種情形中， i，j，k滿足 i · i = j · j = k · k =1 , i · j = j · i = i · k = k · i = j · k = k · j =0,J Willard Gibbs,因

37、此，把 v 和 v’ = a’i + b’j + c’k 點乘就得到v · v’ = aa’ + bb’ + cc’ 點這個乘積不再是向量而是一個數量，稱為數量積。所以。兩個向量的數量乘法與兩個實數或復數或四元數的乘法都不同，它不滿足封閉性。 向量的另一種乘法是向量積，用“×”表示，也稱為“叉乘”，在這種情形中，i，j，k 滿足i × i = j × j = k × k =0

38、 , i × j = k , j × i = －k , j × k = i , k × j = －i , k × i = j , i × k = －j , 因此，把 v 和 v’叉乘就得到 v × v’ = (bc’ －b’c) i + (ca’ －ac’ ) j + (ab’ －ba’ ) k 它也可寫成行列式的形式 :,兩個向量的向量積是一

39、個向量，它的方向垂直于和所決定的平面，且指向通過較小的角度轉到時右手螺旋所指的方向。 有趣的是，魏爾斯特拉斯在1861年證明：有有限個基元素的實系數或復系數線性結合代數，如果要服從乘積定律和乘法交換律，就只有實數代數和復數代數。這才使人們了解到為什么尋求“三維復數”的努力是徒勞的。,§8.3 布爾代數,8.3.1 前奏----萊布尼茨的工作,8.3.2 布爾及布爾代數,8.3.3 杰文斯 皮爾斯 施羅

40、德 弗雷格 皮亞諾 懷特海 羅素,19世紀中后葉，代數學還開拓了另一個完全不同的領域，即布爾代數。,8.3.1 前奏----萊布尼茨的工作,早在17世紀，萊布尼茲就試圖建立一種推理代數，通過演算完成一切正確的推理過程。但是萊布尼茲并沒有完成這項工作。,8.3.2 布爾及布爾代數,,萊布尼茲提出的邏輯數學化的思想在兩個世紀后才獲得實質性進展。英國數學家布爾的邏輯代數即現今所稱的“布爾代數”基本上完成了邏

41、輯的演算工作。 布爾的邏輯代數建立于“謂詞量化”的基礎上。傳統(tǒng)的亞里士多德邏輯所討論的命題是一種具有“主-謂”形式的命題，在其三段論的各種基本形式中，只有主詞是被量化的。19世紀上半葉，一些邏輯學家在對邏輯形式做出新的分析后，發(fā)現實際判斷不但要考慮主詞的量，而且也要考慮謂詞的量。將謂詞量化的努力使人們想到可以用等式來處理命題，從而為布爾的邏輯代數作了技術上的準備。,George Boole,Augustus De Morgan,1

42、835年，20歲的喬治·布爾開辦了一所私人授課學校。為了給學生們開設必要的數學課程，他興趣濃厚地讀起了當時一些介紹數學知識的教科書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數學嗎？實在令人難以置信。于是，這位只學過初級數學的青年自學了艱深的《天體力學》和很抽象的《分析力學》。由于他對代數關系的對稱和美有很強的感覺，在孤獨的研究中，他首先發(fā)現了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。這篇高質量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學教書, 是他開始和許

43、多第一流的英國數學家交往或通信，其中有數學家、邏輯學家德·摩根。摩根在19世紀前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在1848年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護。這本書是他6年后更偉大的東西的預告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時已經在研究邏輯代數，即布爾代數。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數。在這種代數中，適當的材料上的“推理”，成了公式的初等運算的事情，這些公

44、式比過去在中學代數第二年級課程中所運用的大多數公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數學的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6年的漫長時間里，又付出了不同尋常的努力。 1854年，他發(fā)表了《思維規(guī)律》這部杰作，當時他已39歲，布爾代數問世了，數學史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數學家蔑視地稱它為沒有數學意義的哲學上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數學

45、家能在數學上做出獨特貢獻。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。20世紀初，羅素在《數學原理》中認為，"純數學是布爾在一部他稱之為《思維規(guī)律》的著作中發(fā)現的。"此說一出，立刻引起世人對布爾代數的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數已經發(fā)展成為純數學的一個主要分支。,,布爾代數的基本公式,,,,在布爾之后，一些邏輯學家和數學家又對他的邏輯演算作了改進和發(fā)展。其中比較重要的如： 杰文斯改進了相加的類必須不相交的限制；

46、 皮爾斯則區(qū)分了命題和命題函數，并引入了兩個變量的命題函數； 在施羅德的三大卷《邏輯代數講義》（1890-1905）中，布爾代數更是發(fā)展到了頂峰。,William Jevons 1835-1882,Charles S Peirce 1839-1914,Ernst Schröder 1841-1902,1879年，德國數學家弗雷格開創(chuàng)了數理邏輯研究的另一種傳統(tǒng)，即數學基礎傳統(tǒng)。他的目

47、標不是把數學應用于邏輯以實現邏輯規(guī)律和邏輯推理的數學化，而是利用精密化的邏輯為數學建立一個可靠的基礎。,Gottlob Frege 1848-1925,Giuseppe Peano 1858-1932,Alfred Whitehead 1861-1947,以后，通過佩亞諾（G.Peano）、懷特海(A.Whitehead)和羅素（B.Russell）等人的工作，就將數理邏輯研究中的邏輯代數傳統(tǒng)和數學基礎傳統(tǒng)

48、匯合在一起。,Bertrand Russell 1872-1970,8.4.1 高斯的《算術研究》,§8.4 代數數論,在19世紀以前，數論只是一系列孤立的結果，但自從高斯在1801年發(fā)表了他的《算術研究》后，數論作為現代數學的一個重要分支得到了系統(tǒng)的發(fā)展。《算術研究》中有三個主要思想：同余理論，復整數理論和型的理論。其中復整數理論正是代數數論的開端，而這個理論又是從高斯對同余理論的研究中派生出來的。如果 a

49、 , b , m 是整數，并且a－b 能被m 整除，那么這時就說 a 和 b 關于模 m是同余的，高斯將這一事實記為 a ? b (mod m ), 它也稱為同余式。對于模相同的同余式，可以像等式那樣來處理。例如，從a ? b (mod m ) 和 a’ ? b’ (mod m ), 可以得出 a ? a’ ? b ? b’ (mod m ) 。,Gauss,高斯特別研究了二次剩余。而關于二次剩余和二次非剩余，有一個著

50、名的定理與之相聯系，高斯稱之為二次互反律： 設 p 和 q 是兩個相異的奇素數，如果乘積 是偶數，則當且僅當x2 ? p (mod q )有解時， x2 ? q(mod p)有解 ；如果上述乘積是奇數，則當且僅當 x2 ? p (mod q )無解時， x2 ? q(mod p)有解 。利用勒讓德后來引入的一個記號 （q / p）：,如果 x2 ? q(mod p)有解,如果 x2 ? q

51、(mod p)無解,還可以把二次互反律表達成如下優(yōu)美的形式：,它最先由歐拉所發(fā)現，但缺少證明。高斯非常欣賞這個定律，把它譽為“算術中的寶石”，《算術研究》中就有該定律的一個完全證明。 高斯在證明了二次互反律之后，試圖將它推廣到三次或四次互反律，但他發(fā)現為使三次和四次剩余的理論簡單、優(yōu)美，就必須超出通常的整數范圍，引進復整數，即實部和虛部皆為整數的復數。對于復整數可以像處理普通整數那樣討論它的數論性質。從而開辟了數論的一個新天

52、地。,Adrien-Marie Legendre,8.4.2 庫默爾與理想數,Eduard Kummer,在高斯之后對代數數論作出重要貢獻的是德國數學家?guī)炷瑺?。他引進了一種新的代數數，從而推廣了高斯的復整數理論。庫默爾原本打算基于這種代數數來證明費馬大定理。然而不久，他的設想便因狄利克雷對這種代數數唯一分解性的否定而被否定。因為對于一般的代數整數，唯一分解定理并不成立。例如考慮形如 的代數整數，這里 a

53、, b 是整數。我們有,容易證明這四個因子都是素整數，可見唯一分解定理不成立。為了重建唯一分解定理，使得普通數論的一些結果在推廣到代數數論時仍能成立，為了使普通數論的一些結果在推廣到代數數論時仍能成立，庫默爾在1844-1847年間又創(chuàng)立了理想數理論。如針對上面的例子，在引入理想數,后，6 就可以唯一地表示成四個因子的乘積： 6 =?2?1?2 。后來德國數學家戴德金又把庫默爾的工作系統(tǒng)化并推廣到一般的代數數域，從而創(chuàng)立了現代代數數的理

54、論。 戴德金將代數數的概念一般化之后，遂開始重建代數數域中的唯一因子分析定理，他引進了代數數類來代替理想數，為了紀念庫默爾的理想數，他把它們稱為理想。,代數數域中整數環(huán)的除子半群中的元素。理想數的概念是由德國數學家?guī)炷瑺栐谘芯糠謭A域上的算術時提出來的。 在19世紀中葉，很多數學家還不清楚在代數整數環(huán)中是否和整數環(huán)一樣有素因子唯一分解定理，就連大數學家柯西也認為唯一分解是對的。庫默爾就此問題與狄利克雷展開討論，在18

55、44年他認識到分解是不唯一的。于是，在1845－1847年庫默爾提出了理想數的概念。 如果從理想數的觀點看，整數環(huán)的分解是唯一的。庫默爾的理想數就是現今理想的雛形。在庫默爾理想數理論的基礎上，戴德金和克羅內克創(chuàng)立了一般理想理論。戴德金將每個理想數與環(huán)中的理想一一對應起來，這個理想被他定義為環(huán)中由0及能被這個理想數整除的所有元素組成的子集。 若al，…，an是理想 I 的生成元，則對應于I的理想數是理想數

56、 φ(a1)，…，φ(an)的最大公因子。后來，理想的概念推廣到任意環(huán)上，那些理想概念與除子概念相一致的環(huán)，現稱之為戴德金環(huán)。,理想數（ideal number）,8.4.3 戴德金的理想論,Richard Dedekind,,1831年生于德國不倫瑞克;1916年2月12日卒于不倫瑞克?！　〈鞯陆鸬母赣H是一位法學教授，母親是一位教授的女兒。1848年戴德金進入了卡羅琳學院，這也是高斯的母校。在那里他學到了解析幾何，代數分析，

57、微積分以及力學和自然科學。1850年復活節(jié)，他進入哥廷根大學學習。當時哥廷根剛剛建立起數學和物理學討論班，在那里他跟斯特恩學到數論基礎知識，跟韋伯學習物理。1851年黎曼也參加討論班，他們很快結下了深厚的友誼。戴德金還學習了物理和天文，并聽過高斯的最小二乘法和高等測量學。他只上了四個學期就在高斯指導下準備博士論文,題目是《關于歐拉積分的理論》。對此，高斯寫了如下評語："戴德金先生準備的論文是關于積分學的一項研究，它決不是一般的

58、。作者不僅顯示出對有關領域具有充分的知識而且這種獨創(chuàng)性也預示出他未來的成就。作為批準考試的試驗論文，我對這篇論文完全滿意。",1855年高斯去世后，狄里赫利來到哥廷根。戴德金聽到狄里赫利的數論，位勢理論，定積分和偏微分方程等內容，獲益匪淺。他很快與狄里赫利有了密切的交往，并進入了狄里赫利和他的朋友們的社交活動。1855年冬到1856年，戴德金聽黎曼講授了阿貝爾函數和橢圓函數的課程。他自己也在1856到1858年先后講授兩個學期

59、的伽羅瓦理論。他可能是第一個開伽羅瓦理論的人。在講課中，他引進了域的概念，并且把置換群的概念用抽象群的概念來取代。　　1858年戴德金被任命為瑞士蘇黎世綜合工業(yè)學院教授。在講授微積分的課程中深感分析基礎的薄弱，從此開始實數理論基礎的研究。他在11月24日得出了自己的連續(xù)性和無理數理論，并在幾天后告訴了他的朋友杜瑞熱。1872年以《連續(xù)性與無理數》出版。這本書的問世連同魏爾斯特拉斯分析基礎的傳播以及康托爾集合論的誕生，標志著現代數學新時

60、期的來臨。1888年他出版了《數是什么？數應當是什么？》。這本書有很大的影響，特別是影響皮亞諾得出其著名的算術公理?！　〈鞯陆馃o理數理論的核心是他的"分割"的概念。一個分割把所有有理數分成兩類，使得第一類中每一個數都小于第二類中每一個，每一個分割對應于一個實數。這樣在有理數之外，就引進了無理數的概念。這是建立在有理數已經存在的基礎之上。再進一步，如何建立自然數，有理數，就直接導致了皮亞諾的自然數公理?！　≡诟缤⒏?/p>

61、和瑞士期間，戴德金致力于狄里赫利1856到1857年的數論講義和黎曼全集的編輯工作。在1871年《數論講義》第二版附錄中，戴德金首次發(fā)表了自己的域論及理想理論以及由此建立的一般代數數論。而獨立的、系統(tǒng)的代數數論是他在1876至1857年發(fā)表的《代數整數論》，其部分內容收入《數論講義》1879年第三版。更為完整的理論則作為1894年第四版附錄出版。,戴德金是近代抽象數學的先驅。他或明顯或隱含的定義了抽象代數許多基本概念，而且對研究抽象結構

62、有著明確的理解。他給出了有限群的抽象定義，推廣了理想及域的概念。1897年在研究群論中引進換位子群概念，并證明他是正規(guī)的。在他通信啟發(fā)下，Frobenius從1895年起發(fā)展了群的特征標理論，成為群表示論的強有力的工具。另外，他還是格論的創(chuàng)始人。他的抽象代數的思想后來被希爾伯特和諾特大大發(fā)展。但諾特認為，她的抽象代數理論在戴德金那里已經有了。 　　朗道在1917年哥廷根召開的紀念戴德金的講演中對他作了崇高的評價："戴德金不僅

63、是一位偉大的數學家，而且是從古到今整個數學史上真正杰出的人物。他是他那時代的最后一位英雄，高斯的最后一位學生。他本人40多年來已是經典作家，不僅我們，而且我們的老師乃至老師的老師都從他的工作中受到啟發(fā)。",代數對象是什么?,數,運算,算術數、實數、復數、四元數、超復數、向量,四則運算、初等代數運算、抽象運算,{,運算對象運算規(guī)律,1、18世紀數學內部主要聚集了哪些突出的問題？2、在五次和五次以上方程根式可解上哪些數學家做出