中國古代數(shù)學中的極限思想[開題報告]

1、<p><b>　　畢業(yè)論文開題報告</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　中國古代數(shù)學中的極限思想</p><p>　　一、選題的背景、意義（所選課題的歷史背景、國內(nèi)外研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢）</p><p>　　微積分是近代數(shù)學產(chǎn)生的標志之一，而其

2、中極限概念與極限方法是近代微積分學的基礎。美國學者C.B.波斯灣耶在他的《微積分概念史》一書中，多處指出在古希臘數(shù)學中沒有產(chǎn)生極限概念和使用過極限方法，但在古代東方的中國，早在春秋戰(zhàn)國時期就有了極限思想的萌芽，對宇宙的無線性與連續(xù)性已有了相當深的認識；到三國魏晉時期，我國著名數(shù)學家劉徽受到秦漢的極限思想的啟迪，繼承并發(fā)展了極限思想，在為《九章算術》作注時，最先創(chuàng)造性地把極限思想引入數(shù)學，成為數(shù)學方法，這種方法在圓田術和陽馬術得到了充分的

3、發(fā)揮和廣泛作用，可以說為微積分的產(chǎn)生準備了必要的條件(參見文獻[1][2])。本次論文設計針對極限思想的萌芽、發(fā)展到完善過程，以及其在古代數(shù)學中應用和影響做較為全面的探討。</p><p>　　數(shù)學中有很多重要的思想和方法，比如極限思想就是人們認識無限運動變化的偉大結晶，是聯(lián)系初等數(shù)學和高等數(shù)學的一條重要的紐帶[3]。這種思想和方法的運用，擴大了人們的思維空間，產(chǎn)生了許多重要的結論和經(jīng)典故事。而極限又是高等數(shù)學中

4、最重要的概念，高等數(shù)學許多深層次的理論及其應用都是極限的延拓與深化。作為研究函數(shù)最基本的方法——極限方法，早在古代就有比較清楚的描述，其在古代數(shù)學中的應用也有很多具體實例。因此，結合國外的極限思想的應用實例，對中國古代極限思想的理論及實際應用進行研究十分必要。</p><p>　　以中國為代表的長于算法的東方數(shù)學和以希臘為代表的長于邏輯的西方數(shù)學, 是雪白梅香, 各有所長(參見文獻[4])。我們知道, 極限概念是

5、微積分的最重要概念之一。數(shù)學家們?nèi)绻婚_始因為無窮小的概念不嚴格而放棄它, 那么微積分就不會誕生。當時的微積分是建立在經(jīng)驗觀察或并不很審慎的直觀的基礎上的, 以在天文力學上的實用性為其后盾。這和中國學者走的道路類似。到了19世紀, 微積分開始嚴格化運動, 它要求高度演繹。只有這樣才便于理論自身的發(fā)展, 這又和古希臘學者走的道路一致。 可見,在數(shù)學的發(fā)展過程中, 不能偏廢任何一方（參見文獻[5]）。在古代西方, 芝諾的四個著名悖論首先觸及

6、到數(shù)學上敏感而后困惑的“無限”問題。歐多克斯的窮竭法, 阿基米德的無窮小思想都含有非常重要的微積分思想。到16 世紀末, 由于實踐的需要和對窮竭法的好奇與興趣, 那些促使微積分產(chǎn)生的數(shù)學問題引起了數(shù)學家們的廣泛興趣, 他們做了大量有意義的工作, 為微積分的創(chuàng)立做了思想上和技術上的準備。到17 世紀, 牛頓、萊布尼茨終于在前人的基礎上創(chuàng)立了微積分（參見文獻[6]）。</p><p>　　二、研究的基本內(nèi)容與擬解決的

7、主要問題</p><p>　　極限思想是人們對有限、無限問題不斷深化認識的過程中取得的。從萌芽到完善，經(jīng)過了近2000年時間，可以說是數(shù)學史上一次漫長的旅途。</p><p>　　早在春秋戰(zhàn)國時期（公元前770——前221）道家的代表人物莊子就有了極限思想，據(jù)《莊子》“天下篇”中記載：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭” [7]。意思是說一尺長的木棒每天去下前一天所剩的一半，如此下去，永遠也取

8、不完。這反映了古人對極限的一種思考，它不但表達了我們祖先的極限思想，也提供了一個“無窮小量”的實際例子。這個經(jīng)典論斷，至今在微積分的教學中還經(jīng)常使用。</p><p>　　我國古代的極限思想與方法主要寓于求積(面積、體積)理論。</p><p>　　劉徽繼承和發(fā)揚了先秦諸子關于極限的思想用“割圓術”和“陽馬術”等成功地解決了求積問題。在《九章算術》的“圓田術”中給出了計算圓面積的法則:“半

9、周半徑相乘得積步?！奔磮A的面積S 與一個長為半周C /2,寬為半徑的長方形的0面積相等: 錯誤!未找到引用源。 （參見文獻[8][9]）。</p><p>　　西漢末年劉歆在為王莽設計制作圓形銅斛（一種量器）的過程中，發(fā)現(xiàn)直徑為一、圓周為三的古率過于粗略，經(jīng)過進一步的推算，求得圓周率的數(shù)值為3.1547。東漢著名科學家張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時，數(shù)學家王蕃推算出的圓周率數(shù)值為3.155（參見文獻[1

10、0]）。</p><p>　　劉徽以后，探求圓周率有成就的學者，先后有南朝時代的何承天、皮延宗等人。何承天求得的圓周率數(shù)值為3.1428；皮延宗求出圓周率值為 錯誤!未找到引用源。。以上的科學家都為圓周率的研究推算做出了很大貢獻(參見文獻[11])。</p><p>　　祖沖之在推求圓周率方面又獲得了超越前人的重大成就。根據(jù)《隋書·律歷志》的記載，祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直

11、徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數(shù)：一個是盈數(shù)（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數(shù)（即不足的近似值），為3.1415926。圓周率真值正好在盈朒兩數(shù)之間。祖沖之按照劉徽的割圓術之法，設了一個直徑為一丈的圓，在圓內(nèi)切割計算。當他切割到圓的內(nèi)接一百九十二邊形時，得到了“徽率”的數(shù)值。但他沒有滿足，繼續(xù)切割，作了三百八十四邊形、七百六十八邊形??一直切割到二萬四千五百七十六邊形，依次求出每個內(nèi)接正多邊形的邊長。最后求得直徑為

12、一丈的圓，它的圓周長度在三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽到三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽之間，上面的那些長度單位我們現(xiàn)在已不再通用，但換句話說：如果圓的直徑為1，那么圓周小于3.1415927、大大不到千萬分之一，它們的提出，大大方便了計算和實際應用（參見文獻[12]）。</p><p>　　三、研究的方法與技術路線、研究難點，預期達到的目標</p><p>　　研究方法與技術路線：本論

13、文主要以查找資料，以現(xiàn)有的知識水平，在前人的研究論述基礎上進行分析已有的數(shù)據(jù)、資料——對這些內(nèi)容進行總結——最后運用相關的知識，提出自己的見解。</p><p>　　研究難點：（1）從大量的閱讀材料中整理出與論文相關、符合現(xiàn)有知識水平的資料。</p><p>　?。?）如何應用極限思想解決實際生活中的問題。</p><p>　?。?）在前人的研究基礎上，對論題的創(chuàng)新

14、和延伸是一個挑戰(zhàn)。</p><p>　　預期目標：通過這次論文的撰寫，能更深的理解極限思想，更熟練地掌握極限的相關知識。同時在本文的撰寫過程中掌握參考文獻資料查找方法和論文寫作的基本要求和方法，培養(yǎng)自己利用所學知識分析和解決問題的能力，學會從不同角度看待問題，從而達到對所學知識融會貫通的能力。在文章撰寫的過程中更詳細的了解中國古代的極限思想，更加熱愛祖國的燦爛文化。</p><p>　　四

15、、論文詳細工作進度和安排</p><p>　　第7學期12周至第7學期18周：</p><p>　　完成畢業(yè)論文文獻檢索、開題報告、文獻綜述及外文文獻翻譯初稿。</p><p>　　第7學期18周至第7學期21周：</p><p>　　完成畢業(yè)論文開題報告、文獻綜述及外文文獻翻譯，上交。</p><p>　　第7學期2

16、1周至第8學期3周：</p><p>　　完成畢業(yè)論文的數(shù)據(jù)收集、分析；</p><p>　　第8學期3周至第8學期13周：</p><p>　　完成畢業(yè)論文初稿，對論文進行修改，進一步完善畢業(yè)論文；</p><p>　　第8學期13周（5月23日）至第8學期15周（6月10日）：</p><p><b>　

17、　完成畢業(yè)論文答辯.</b></p><p><b>　　五、主要參考文獻：</b></p><p>　　[1] 吳文俊.九章算術與劉徽[M].北京:北京師范大學出版社，1982.</p><p>　　[2] 陳宇.極限論的發(fā)展[J].邯鄲大學學報.2000,2:11-12.</p><p>　　[3] Wa

18、lter.Rudin. Principles of Mathematical Analysis [M]. Library of Congress Cataloging in Publication data. 1976.</p><p>　　[4] M·克萊因. 古今數(shù)學思想[M].上海:上?？茖W技術出版社,1979.</p><p>　　[5]王曉碩. 極限概念發(fā)展的幾個歷史階

19、段[J].高等數(shù)學研究.2001,4(3):40-43.</p><p>　　[6] 譚瓊華.從中西方哲學傳統(tǒng)看微積分的創(chuàng)立[J].數(shù)學理論與應用. 2004,24(4) :100-102.</p><p>　　[7] 華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析(上冊,第三版)[M].北京:高等教育出版社.2001.</p><p>　　[8] 陳順清. 中國古代數(shù)學對微積分形成

20、的貢獻[J].四川文理學院學報(自然科學).2007,17(2)：1-5.</p><p>　　[9] John Stillwell. Geometry of Surfaces[M].北京:世界圖書出版公司,2009.</p><p>　　[10] 佟健華. 中國古代數(shù)學教育史[ M ] .北京:科學出版社,2007.</p><p>　　[11] 許晶. 淺談劉