代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)0

1、線性代數(shù)作為先修課程，以下內(nèi)容作為已學(xué)過(guò)內(nèi)容。,行列式的定義、性質(zhì)與計(jì)算矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、分塊乘法，逆矩陣及其求法向量組的線性相關(guān)與無(wú)關(guān)及相應(yīng)性質(zhì)線性方程組基本理論與一般解法二次型理論與計(jì)算,一、初等矩陣和矩陣的初等變換,矩陣初等變換定義: 倍法變換、消法變換、換法變換.初等矩陣，倍法矩陣 P[i(k)], k≠0 消法矩陣 P[i,j(k)]

2、 換法矩陣 P[i,j]初等 矩陣都可逆的，其逆仍是同種的初等陣。,初等矩陣與初等變換的關(guān)系，有如下結(jié)論1°以 乘矩陣A等于將A的第 擴(kuò)大k倍;2°以 乘A等于將A的第 之k倍加于第3°以 乘A等于互換A的i,j兩 .,線性相關(guān)：對(duì)

3、 ，若有不全為0的數(shù)k1，k2, …，ks，使（*）線性無(wú)關(guān),二、向量組的線性相關(guān)性,關(guān)于向量組相關(guān)（無(wú)關(guān)）性的主要結(jié)論1°一組向量（個(gè)數(shù)多于1）線性相關(guān)的充要條件是其中（至少）有一個(gè)向量可以由其余向量線性表示.2°若 無(wú)關(guān)，而 相關(guān)，則 必可由 線表示，而且表法唯一. 3

4、 °相關(guān)組的擴(kuò)大組仍相關(guān)；無(wú)關(guān)組的部分組仍無(wú)關(guān).4 °n維向量多于n個(gè)時(shí)必成相關(guān)組.5 °若 被 線表，且s>t，則必為相關(guān)組.,向量組的極大無(wú)關(guān)組定義向量組的秩——極大無(wú)關(guān)組中向量個(gè)數(shù)矩陣的秩 A的行秩= A的列秩= A的行列式秩=秩A,第0章 預(yù)備知識(shí),1.1 數(shù)域 數(shù)域就是描述數(shù)的范圍的一個(gè)概念。

5、 設(shè)F是一個(gè)元素個(gè)數(shù)多于1的數(shù)集，如果F中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（當(dāng)除數(shù)非0時(shí)）仍是F中的數(shù)，就稱F為一個(gè)數(shù)域。,第1節(jié) 多項(xiàng)式,其他數(shù)域:,構(gòu)成一個(gè)數(shù)域.,有理數(shù)域是最小的數(shù)域；復(fù)數(shù)域是最大的數(shù)域.,以下討論問(wèn)題時(shí)，凡涉及到數(shù)的，我們總假設(shè)是在某個(gè)數(shù)域上進(jìn)行的.此時(shí)，參與運(yùn)算的數(shù)都要限定在該數(shù)域內(nèi) 例如，f（x）是實(shí)數(shù)域上的多項(xiàng)式，就是指f（x）的所有系數(shù)都是實(shí)數(shù).,常用的數(shù)域 :有理數(shù)域---記為Q.

6、 實(shí)數(shù)域------記為R. 復(fù)數(shù)域-----記為C.,定義1.2 對(duì)于非負(fù)整數(shù)n及數(shù)域F上的數(shù)ai(i=1,2, …,n),變量x的形式表達(dá)式,f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 (1),稱為數(shù)域F上的一個(gè)多項(xiàng)式.當(dāng)a

7、n≠0時(shí)，則稱（1）為一個(gè)一元n次多項(xiàng)式，非零數(shù)an稱為該多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)，a0稱為常數(shù)項(xiàng).,例如 3x4+x-2是一個(gè)4次多項(xiàng)式；,3是一個(gè)0次多項(xiàng)式；,所有系數(shù)都是0的多項(xiàng)式0稱為零多項(xiàng)式.零多項(xiàng)式不定義次數(shù).如果為了方便，也可以認(rèn)為它的次數(shù)為-∞.,1.2 多項(xiàng)式,對(duì)于正整數(shù)n，與n次多項(xiàng)式f(x)對(duì)應(yīng)的方程f(x)=0稱為n次代數(shù)方程.,例如 一元二次方程,ax2+bx+c=0, a≠0.,它的根依據(jù)a，b，c的不同取

8、值可能為不同二實(shí)根、相同二實(shí)根或共軛二復(fù)根.重復(fù)出現(xiàn)的根稱為重根，其重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)稱為該重根的重?cái)?shù).重?cái)?shù)為1的根稱為單根.,定理1.3 在復(fù)數(shù)域上， n次代數(shù)方程恰有n個(gè)根(n≥1).,定義1.3 對(duì)于n次(n≥1)多項(xiàng)式f(x)，代數(shù)方程f(x)=0的根亦稱為多項(xiàng)式f(x)的根或零點(diǎn).,根據(jù)定理1.1及定義1.3可知： n次(n≥1)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域上恰有n個(gè)根（重根的個(gè)數(shù)按其重?cái)?shù)計(jì)算）.,如果n次多項(xiàng)式(1)的全部互

9、異的根為x1,x2, …,xt，它們的重?cái)?shù)分別為n1,n2, …,nt，則有,(2),并且n1+n2+ …+nt=n.,(2)式右端稱為多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式.,例如對(duì)于多項(xiàng)式f(x)=x3+2x2+x，分解式,f(x)=x(x+1)2，,f(x)=(x+1)2x,都是標(biāo)準(zhǔn)分解式，而,f(x)=x(x+1)(x+1)，,都不是標(biāo)準(zhǔn)分解式.,第2節(jié) 方陣的特征值與特征向量,定義2.1 對(duì)于n 階矩陣A=(aij),其主對(duì)角

10、線上n個(gè)元素之和a11+a22+…+ann稱為A的跡，記為trA.,定義2.2 對(duì)于n 階矩陣A=(aij),把含有字母λ的矩陣,稱為A的特征多項(xiàng)式.行列式 |λE- A|的值表達(dá)式 是一,個(gè)多項(xiàng)式，稱為A的特征多項(xiàng)式.特征多項(xiàng)式的根稱為的特征值，亦稱為特征根.,如果是特征多項(xiàng)式的單根，則稱為單特征值，否則稱為重特征值,定義2.3 設(shè)λ0是n階矩陣A的一個(gè)特征值.若有n 維零非列向量α使,Aα = λ0α,,則稱α為矩陣A

11、的對(duì)應(yīng)于特征值λ0的特征向量.,由上面的定義可知，矩陣A的任一特征值λ0所對(duì)應(yīng)的特征向量都是方程組(A－λE)x = 0 的全部非零解向量,顯然A的關(guān)于特征值λ0所對(duì)應(yīng)的特征向量有無(wú)窮多個(gè).,可以證明：方陣A的每一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)于某一個(gè)確定的特征值.事實(shí)上,第3節(jié) 正交矩陣與酉矩陣,3.1 實(shí)向量的內(nèi)積與正交矩陣,對(duì) 于復(fù)矩陣 稱為A的共軛矩陣.1°

12、 ; 2° ;3° ; 4° ;5° ;6°當(dāng)A為方陣時(shí)， ;7°當(dāng)A可逆， 亦可逆且

13、 . 記 稱為A 的共軛轉(zhuǎn)置矩陣. 有,3.2共軛矩陣,若方陣A滿足AHA=E,稱A為U—矩陣(酉矩陣).它是（實(shí)）正交矩陣的推廣.U—陣性質(zhì)1°A為U—矩陣 ;2°若A為U—矩陣，則 亦然;

14、3°若A，B均為n階U—矩陣，則AB也是U—矩陣.,3.3 酉矩陣,H—矩陣[Hermite矩陣] 方陣A為H—陣實(shí)H—陣即實(shí)對(duì)稱陣，故H—陣是實(shí)對(duì)稱矩陣的推廣.H—矩陣性質(zhì)1 °若A為H—陣，則| A |為實(shí)數(shù);2 °若A為H—陣，k為實(shí)數(shù)，則k A仍為H—陣;3 °若A為H—陣，則仍H—陣，當(dāng)A可逆時(shí)， A-1亦為H－陣;4 °若A ， B均n階H—

15、陣，則A + B亦然.,第4節(jié) H—矩陣與H—二次型,H—二次型: 當(dāng) A 為H—陣時(shí)， 稱為H—二次型.對(duì)任何復(fù)向量 ， 為實(shí)數(shù).H—二次型有與實(shí)二次型平行的一系列結(jié)果.如相應(yīng)于原二次型的H—陣A變換為,第 1 章 線性空間與線性變換,第1節(jié) 線性空間的定義與基本性質(zhì)線性空間 設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)是一個(gè)數(shù)域。如果V上定義加法：對(duì)

16、 有 使 。定義數(shù)乘： 有 ，使 。并且以上兩種運(yùn)算還滿足：1） ；2） ；3）V中存在零元素0，對(duì) ，有

17、 ；4）V中每一元素 有負(fù)元素 ，使 ；5） ；6） ；7） ；8） 。則稱V為數(shù)域F上的一個(gè)線性空間（向量空間）。,線性空間的基本性質(zhì) 1° 零元唯一（零向量有且僅有一個(gè)）；

18、 2 °任一元素的負(fù)元素唯一； 3 ° ，k0=0，當(dāng)k≠0且 時(shí)， 必有 ； 4 ° ； 推論 。,本節(jié)將研究線性空間的結(jié)構(gòu)。 最簡(jiǎn)單——零空間{0}

19、 定義2.1 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，如果V中有n個(gè)向量 滿足： 1） 線性無(wú)關(guān)； 2）V中任何向量 均可由 線性表示， 則稱為V的一組基（基底）。基中向量個(gè)數(shù)n稱為V的維數(shù)，記為維V 或 dim(V)。 定理2.1 n維線性空間中任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量均可構(gòu)成一組基。,第2節(jié) 基與維數(shù),例

20、 求實(shí)數(shù)域R上的線性空間R3的基與維數(shù)。例 求F2×3的基與維數(shù).解,1）E11，E12，E13，E21，E22，E23線性無(wú)關(guān) ; 2）任何 ，有 ,可見(jiàn)E11，E12，E13，E21，E22

21、，E23為基，維F2×3=6.,例 求數(shù)域F上線性空間 F[x]3的維數(shù)和一組基。解 空間中一般元素可表述為 ， 可得一組基 ，維數(shù)為3。 一般情形 F[x]n，維數(shù)為n 一

22、組基： 。例 在通常數(shù)的加法、乘法運(yùn)算下，① C（集合）作為復(fù)數(shù)域C上的線性空間為1維。 基 ，任 ，有 。② C（集合）作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間則為2維。 基(i)

23、 無(wú)關(guān),任何不全0的k1 , k2 ,(ii)任 有　 。,,第3節(jié) 坐標(biāo)與坐標(biāo)變換,坐標(biāo) 設(shè)V為F上n維線性空間， 為一組基，對(duì) ，由于線性表示性，有唯一一組常數(shù)， , 使,稱

24、有序數(shù)組 為 在基 下的坐標(biāo)，記為 在取應(yīng)基之下，向量與坐標(biāo)1-1對(duì)應(yīng)的.,例1 求F2×2中向量 在基下的坐標(biāo)解 由線性表示式

25、 ,即得α基 下的坐標(biāo)為 .,例 R[x]4中向量在基 下的坐標(biāo)為（1, 0, 3, 0)T在基 下坐標(biāo)為（0, 3, 0, 1)T .例 V：二階實(shí)對(duì)稱陣空間，數(shù)域R,基故A在基A

26、1，A2，A3下的坐標(biāo) .,下面，研究在取定基下，向量與坐標(biāo)的1-1對(duì)應(yīng)關(guān)系。1。在任一基下，零向量與零坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)，即2。在基 下，若向量 的生標(biāo)為 的坐標(biāo)為 則，1） ;2） . 2。可推廣：若

27、設(shè)同一基下， 的坐標(biāo)為則 的坐標(biāo)為 .,3。（定理3.1）設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，在取 定基 下，向量組 線性相關(guān)充要條件是它們的坐標(biāo) 線性相關(guān).證 相關(guān)

28、 線性相關(guān).,對(duì)n維線性空間V（數(shù)域F上的），設(shè) 及都是V的基，于是它們可以互相線性表示: .借用矩陣相等及運(yùn)算，可形式表示為

29、 (基變換公式)其中 .A被唯一確定，稱則基 到 的過(guò)渡矩陣或稱變換矩陣.,※ 過(guò)渡矩陣A必是可逆的. 上式兩端以A-1乘之 這也是基變換公式. 可以證明

30、,下面形式成立:,下面給出基變換與坐標(biāo)變換的關(guān)系設(shè)向量 在基 及基 下 坐標(biāo)分別為 , 并設(shè)基變換公式為于是由一個(gè)向量在取定基 下坐標(biāo)之唯 一性，必有 或?qū)懗?

31、 . (坐標(biāo)變換公式),例 在線性空間R3中，求由基的過(guò)渡矩陣，并求向量 在基 下的坐標(biāo) .解 設(shè)基變換公式為,則A中各列應(yīng)是 在基 下的坐標(biāo) 又 在 下的坐標(biāo)里為

32、 按坐標(biāo)變換公式，有 .于是,變換：由線性空間V到V映射,稱為線性空間上的變換. 記為變換的相等：σ，τ均為V上的變換，若對(duì) 總有 , 則 σ=τ.幾個(gè)特殊的變換:恒等變換 零變換數(shù)乘變換,第4節(jié) 線性變換及其運(yùn)算,變換的運(yùn)

33、算: 和 積 數(shù)乘 可證負(fù)變換可逆變換 對(duì)V的變換 ，若有V的變換 使 ，便說(shuō) 可逆， 為 的逆，記為 .,線性變換 設(shè)V是數(shù)域W上的線性空間,σ 是V上的變換，如果1）2）則稱 為V的一個(gè)線性變換.1）2）稱為保持加法，保持?jǐn)?shù)乘，總稱保持線性運(yùn)算。可逆線性變換：既可逆又線性

34、的變換.,例　　R[x]n ,τ：求導(dǎo)變換， τ為線性變換. 例　 C作為實(shí)數(shù)域R上的線性空間，（ ）＝ 　為線性變換.　　　　1）　　　　2） 例　R2上的變換　　；對(duì)　　　R2 ,　　規(guī)定　　　　　, A 為取定2×2實(shí)矩陣,由于　　　1）　　　2） 是線性變換.,線性變換的基本性質(zhì)（設(shè) 均為空間V上線性變換）1°2°線性變換保持線性組合

35、關(guān)系不變，即3°線性變換把線性相關(guān)組化為線性相關(guān)組,4°5°線性變換的運(yùn)算滿足如下算律6°若 是可逆線性變換,則 亦然.,,第五節(jié) 線性變換的矩陣 設(shè)V，F(xiàn) , n維，基 設(shè) ,若記 則,即可表為,例 在R［x］

36、n，τ為求導(dǎo)變換，求線性變換τ在基,例2 有限維線性空間V, 任一基 (1) (2) (3)定理5.2 保持加法，乘法，數(shù)乘.,定理 5.3 設(shè)線性空間V中， 則定理 5.4 若線變 在基 下的矩陣為A，V中向量ξ是在基 下的坐

37、標(biāo)為x，則 在基 下的坐標(biāo)為A x定理 5.5 同一線性變換在不同基下的矩陣相似，具體地說(shuō)，如果線性變換 在兩基 及 下的矩陣別為A與B，且 ,則 . 相似因子即兩基變換矩陣,線性變換的特征多項(xiàng)式及特征根：即 在任意

38、取定基 之下的矩陣A的特征多項(xiàng)式及特征根. 的特征向量：若　　　　　　　　是Ａ屬于　之特征向量，則Ｖ中以x為坐標(biāo)之向量稱為　的相應(yīng)于特征根　的特征向量.,第6節(jié) 線性空間的子空間 子空間：設(shè)V是F上線性空間，V1 是V的非空子集，如果V1 對(duì)于V的兩運(yùn)算也構(gòu)成F上的線性空間，則稱V1 為V的一個(gè)線性子空間，簡(jiǎn)稱為子空間。 定理6.1設(shè)V ，F(xiàn)，如果V的

39、非空子集V1 對(duì)于V的兩種運(yùn)算滿足 1）對(duì) ;2）對(duì) ,則V1必是V的子空間.,例 ｛０｝，V的 平凡子空間（最小).例　 V =R3, V1 ={(a1,0, a2) a1, a2∈ R}.例 Ｖ＝Ｆnxn,V1={A A 為上三角陣，A V}.例

40、 線性變換 的核是V的子空間.,,,,例 是V中向量，它們的（系數(shù)取自F的 ）線性組合所成集合 構(gòu)成子空間.V1稱為由向量 生成的子空間，記為 ,這里的 稱為生成元素.結(jié)論1 如果 的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組的

41、 則 結(jié)論2 維,設(shè)V1 ，V2都是V的子空間, 交(空間): 和(空間): ※和不是并， .定理6.2子空間的交與和仍是子空間. 例 V=Rn×n, V1:上三角矩陣， V2：對(duì)稱矩陣，V3：反稱矩陣， V4：對(duì)角矩陣，則有,定理6.3（維數(shù)公式） 維V

42、1 +維V2=維(V1+ V2 )+維( V1∩V2).直和: 如果和V1+V2中每個(gè)向量 的分解式都是唯一的，則稱和V1+ V2為直和，記為V1 V2,不變子空間: 設(shè) 是V的線性變換，V1是V的子空間，如果V1中任意向量的象仍在V1中，即若 ，則 則稱V1為 的不變子空間. 例 線性變換 的特征子