數(shù)學史概論近代數(shù)學的興起

1、第五講 近代數(shù)學的興起------------文藝復興時期的數(shù)學(15－17世紀初),5.2.1代數(shù)學5.2.2三角學5.2.3從透視學到攝影學5.2.4計算技術與對數(shù),5.1中世紀的歐洲 - 歐洲中世紀的回顧,公元5-11世紀，是歐洲歷史上的黑暗時期直到12世紀，同于受翻譯、傳播阿拉伯著作和希臘著作的刺激，歐洲數(shù)學與開始出現(xiàn)復

2、蘇跡象?？梢哉f，12世紀是歐洲數(shù)學的翻譯時代歐洲黑暗時期過后，第一位有影響力的數(shù)學家是斐波那契,斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):(1202 《算盤書》),《算盤書》主要內(nèi)容：,整數(shù)和分數(shù)算法；開方法；二次和三次方程以及不定方程；系統(tǒng)介紹印度-阿拉伯數(shù)碼；《算盤書》可以看作是歐洲數(shù)學在經(jīng)歷了漫長的黑夜之后走向復蘇的號角。,一、文藝復興（14-16世紀）,文藝復興運動：13世紀末，在意大利各城市興起，以后

3、擴展到西歐各國，于16世紀在歐州盛行的思想文化運動。是科學與藝術的革命時期,文藝復興時期在各領域取得很大成就 ，數(shù)學成就只不過是其中之一,5.2向近代數(shù)學的過度---希望的曙光-歐州文藝復興時期的數(shù)學,代數(shù)學 三角學 從透視學到射影幾何計算技術與對數(shù),5.2.1代數(shù)學,歐洲人在數(shù)學上的推進是從代數(shù)學開始的，它是文藝復興時期成果最突出、影響最深遠的領域，拉開了近代數(shù)學的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號代數(shù)的引入這兩個方面。

4、,1. 三、四次方程根式求解的成功第一個突破：約1515年費羅發(fā)現(xiàn)形如：x3+mx=n (m,n>0)，代數(shù)方程的解法并將解法秘密傳給自己的學生費奧1535年，意大利另一位數(shù)學家塔塔利亞，也宣稱自己能解形如：x3+mx2=n (m,n>0)的三次方程。費奧向塔塔利亞挑戰(zhàn)，要求各自解出對方提出的30個三次方程。,,,結果是，塔塔利亞很快解出形如: x3+mx2=n 和x3+mx=n (m,n>0)兩類

5、型所有方程，而費奧只能解出后一類方程后來，塔塔利亞把解法傳給了卡爾丹,塔塔利亞（niccolo fontana, 1499?~1557，綽號tartaglia意為口吃著）,卡爾丹（1501-1576）醫(yī)生、數(shù)學家、預言家?！洞蠓ā贰剂巳畏匠痰慕夥?。,《大法》（Ars Magna）,,,（p, q >0）,,,,實質是考慮恒等式,若選取a,b,使：3ab=p, a3-b3=q,不難解得a,b,p, q >0,2

6、.四次方程求解,費拉里（1522-1565），卡爾丹的學生，獲得解一般四次方程的解法。,x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通過配方、因式分解后降次,關于四次方程的解法，以后韋達和笛卡爾都作過研究，并取得成果，由此引發(fā)探求五次方程根式解的嘗試，經(jīng)拉格朗日、阿貝爾、伽羅瓦的努力，阿貝爾首先證明了一般的五次及以上方程無根式解，伽羅瓦在此基礎上創(chuàng)造了群論，將代數(shù)研究推向縱深。,3.代數(shù)符號體系與代數(shù)運算,韋達(F.Vieta):(1

7、591)近現(xiàn)代數(shù)學一個最為明顯、突出的標志，就是普遍地使用了數(shù)學符號，它體現(xiàn)了數(shù)學學科的高度抽象與簡練。文藝復興時期代數(shù)學的另一重大進展，便是系統(tǒng)地引入符號代數(shù)。 韋達是第一個有意識地、系統(tǒng)地使用字母。他的符號體系的引入導致代數(shù)性質上產(chǎn)生最重大變革,韋達（1540-1603），法國數(shù)學家，（原是律師與政治家，業(yè)余時間研究數(shù)學。）創(chuàng)立符號代數(shù)；發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關系。,16世紀最大的數(shù)學家,代數(shù)學之父：1591年《分析引論》,5.2.2三

8、角學(從球面三角到平面三角）,航海、歷法推算以及天文觀測的需要，推動了三角學的發(fā)展 。早期三角學總是與天文學密不可分，這樣在1450年以前，三角學主要是球面三角 。后來由于間接測量、測繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角,三角學,起源于古希臘。為了預報天體運行路線、計算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角關系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩個直角，等邊對等角等定理。印度人和阿拉伯人對三角學也有研究和推進

9、，但主要是應用在天文學方面。15、16世紀三角學的研究轉入平面三角，以達到測量上的應用目的。,在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是１４６４年完成的《論各種三角形》。這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作。全書共５卷，前２卷論述平面三角學，后３卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉。雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表。,

10、三角學的進一步發(fā)展，是法國數(shù)學家韋達所做的平面三角與球面三角系統(tǒng)化工作。他在《標準數(shù)學》（1579）和《斜截面》（1615）二書中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式匯集在一起，其中包括自己得到的正切公式：,三角學在今天 的應用,三角測量：在導航，測量及土木工程中精確測量距離和角度的技術，主要用于為船只或飛機定位。它的原理是：如果已知三角形的一邊及兩角，則其余的兩邊一角可用平面三角學的方法計算出來。,5.2.3從透視學到射影幾何,由于繪

11、畫、制圖的刺激而導致了富有文藝復興特色的學科——透視學的興起，從而誕生了投影幾何學。意大利藝術家布努雷契（f.brunelleschi, 1377~1446）由于對數(shù)學對興趣而認真研究透視法，他試圖運用幾何方法進行繪畫。數(shù)學透視法的天才阿爾貝蒂（l.b.alberti ，1404~1472) 的完全是數(shù)學性質的《論繪畫》（1511）一書，是早期數(shù)學透視法的代表作，書中除引入投影線、截影等一些概念外，還討論了截影的數(shù)學性質，成為射影幾

12、何發(fā)展的起點。,,重要人物,布努雷契 [意](F.Brunelleschi,1377-1446)阿爾貝蒂(L.B. Alberti ,1404-1472) ---早期數(shù)學透視法的代表作富有獨創(chuàng)精神的數(shù)學天才-----德沙格（g.desargues, 1591~1661） （笛沙格）,德沙格的工作,德沙格（1591-1661），法國陸軍軍官，德沙格定理。德沙格發(fā)表了—本關于圓維曲線的

13、很有獨創(chuàng)性的小冊子《試論錐面截一平面所得結果的初稿》 ，從開普勒的連續(xù)性原理開始，導出了許多關于對合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點以及透視的基本原理,1、兩投影三角形對應邊交點共線，反之，對應邊共點的兩三角形，對應頂點的連線共點（德沙格定理）,,德沙格定理,德沙格,德沙格的另一項重要工作是從對合點問題出發(fā)首次討論了調(diào)和點組的理論。在對合概念的基礎上他又引入共軛點與調(diào)和點組的概念，認為對合、調(diào)和點組關系在投影變換下具有不變性。,即投影線的每

14、個截線上的交比都相等:如下圖，有( A B , C D )=( A′B′,C′D′),2、交比在投影下的不變性；,3、對合、調(diào)合點組關系不變性。,對任一直線上的定點O，稱直線上的兩對點A，B和A′，B′是對合的，如果成立：OA·OB=OA′ ·OB′,帕斯卡,帕斯卡（1623-1662），著作《圓錐曲線論》（1640），在射影幾何方面他最突出的成就就是帕斯卡定理：圓錐曲線的內(nèi)接六邊形對邊交點共線。,拉伊爾（1640-

15、1718），著作《圓錐線》，最突出的地方在于極點理論方面有所創(chuàng)新，獲得并且這樣的定理：若一點Q在直線p上移動，則該點Q的極帶將繞直線p的極點P轉動。,5.2.4計算技術與對數(shù),十六世紀前半葉，歐洲人象印度、阿拉伯人一樣，把實用的算術計算放在數(shù)學的首位。1585年荷蘭數(shù)學家史蒂文發(fā)表的《論十進制算術》系統(tǒng)探討十進數(shù)及其運算理論，并提倡用十進制小數(shù)來書寫分數(shù)，還建議度量衡及幣制中也廣泛采用十進制。這種十進位值制的采用又為計算技術的改

16、進準備了必要條件。,這一時期計算技術最大的改進是對數(shù)的發(fā)明和應用，它主要是由于天文和航海計算的強烈需要，為簡化天文、航海方面所遇到繁復的高位數(shù)值計算，自然希望將乘除法歸結為簡單的加減法。,蘇格蘭貴族數(shù)學家納皮爾(j.napier)正是在球面天文學的三角學研究中首先發(fā)明對數(shù)方法的。1614年他在題為《奇妙的對數(shù)定理說明書》的小書中，闡述了他的對數(shù)方法。,納皮爾（1550-1617），利用兩種不同的運動之間的關系，建立了“對數(shù)”關系。稱為納

17、皮爾對數(shù)。,對數(shù)的實用價值很快為納皮爾的朋友，倫敦雷沙姆學院幾何學教授布里格斯(henrybriggs,1561~1631)所認識，他與納皮爾合作，決定采用 ，則    時得到     ，這樣就獲得了今天所謂的“常用對數(shù)”。,布里格斯（1561-1631），建立了以10為底的常用對數(shù)，制出第一張常用對數(shù)表。,

18、比爾吉（1552-1632），也獨立發(fā)明了對數(shù)。他對數(shù)思想的基礎是斯蒂費爾的級數(shù)對應思想，屬于算術性質而略異于納皮爾的做法。 對數(shù)的發(fā)明大大減輕了計算工作量，很快風靡歐洲，所以拉普拉斯（laplace, 1749~1827）曾贊譽道：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學家的壽命”。,5.3解析幾何的誕生,誕生的社會背景：歷史地位：解析幾何是變量數(shù)學的第一個里程碑,解析幾何基本思想：,1.平面上引進所謂“坐標”的概念；2.平

19、面上的點和有序數(shù)對（x,y)之間建立一一對應關系；3.以此方式，代數(shù)方程f(x,y)=0與平面上一條曲線對應起來；本質思想：用代數(shù)的方法去研究幾何；,解析幾何最重要的前驅是法國數(shù)學家奧雷斯姆(N. Oresme, 1323~1382)；真正發(fā)明者歸功于法國另外兩位數(shù)學家笛卡兒(R.Descartes , 1596~1650)與費馬(P. de Fermat, 1601~1665)。,笛卡兒(R.Descartes, 1596-16

20、50): 《幾何學》(1637),我思故我在,證明帕普斯問題時建立了歷史上第一個傾斜坐標系,求：,,新穎的想法：,1.曲線次數(shù)與坐標軸選取無關,但坐標軸選取應使曲線方程盡量簡單；2.利用曲線的方程表示來求兩條不同曲線的交點；3.大膽的想法：任何的問題→數(shù)學問題→代數(shù)問題→方程求解,一切問題化歸為代數(shù)方程求解問題后如何繼續(xù)？,1.任意選取單位線段;2.定義線段的加、減、乘、除、乘方

21、、開方等運算；3.線段的巧妙表示：(a,b,c,……);,4.一切幾何問題成功轉化為關于一個未知線段的單個代數(shù)方程:,z = b              z2 = -az + b            z3 =

22、-az2 + b z + c            z4 = -az3 + bz2 + cz + d,與笛卡兒懷疑、批評希臘幾何學思想相反。另一位法國巨人：費馬工作的出發(fā)點是竭力恢復希臘幾何他倆工作的出發(fā)點不同，但方式都是采用代數(shù)方法來研究幾何問題。,費馬(P.de Fermat, 1601-1665),>(1629),,法國

23、人、業(yè)余數(shù)學家、數(shù)論方面是承前啟后的人物、幾何方面是一個創(chuàng)造性人物。,任意曲線和它上面的一般點I；I的位置可以用A、E兩個字母確定;,,因此，用我們今天的眼光看來他所稱的兩個未知量A、E，就是我們今天所稱的橫坐標與縱坐標。,費爾馬還解析的定義以下曲線,直線方程：d(a-x)=by;圓：b2-x2=y2;橢圓：b2-x2=ky2;拋物線：x2=dy,y2=dx;雙曲線：xy=k2;x2+b2=ky2,the endthan