riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的中心差分方法

1、基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51174236）；國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（2011CB606306）中南大學(xué)研究生自由探索項(xiàng)目（2013zzts146）通信作者：鄭洲順，教授，博士，中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，Email:z空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的分?jǐn)?shù)階中心差分加權(quán)離散格式鄧娟，鄭洲順中南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410083摘要：摘要：在有限區(qū)域內(nèi)考慮帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題，利用分?jǐn)?shù)

2、階中心差分對(duì)空間方向進(jìn)行離散，在時(shí)間方向上用隱式和顯式Euler格式的加權(quán)平均進(jìn)行離散，構(gòu)造了空間2階、時(shí)間階()的全離散加權(quán)差分格式。利用函?12??數(shù)的單調(diào)性證明了當(dāng)加權(quán)因子時(shí)差分離散格式是無(wú)條件穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)差分120???121???離散格式是條件穩(wěn)定的，并給出了穩(wěn)定的條件。證明了相應(yīng)差分離散格式的收斂性。用實(shí)際數(shù)值算例驗(yàn)證了差分離散格式的有效性。關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：Riesz導(dǎo)數(shù)；分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程；分?jǐn)?shù)階中心差分；穩(wěn)定性分析；收斂性分

3、析中圖分類號(hào)中圖分類號(hào)：O241.82文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A分?jǐn)?shù)階微分方程越來(lái)越多地出現(xiàn)在不同的科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用中，例如分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程、波動(dòng)方程、薛定諤方程、電報(bào)方程、弛豫振蕩方程等等[15]，應(yīng)用領(lǐng)域涵蓋了流體力學(xué)[36]、地下水模擬[7]、、湍流[8]、生物數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)力學(xué)、分形介質(zhì)中的擴(kuò)散問(wèn)題等。由此，分?jǐn)?shù)階微分方程求解也受到越來(lái)越多的關(guān)注，尤其是數(shù)值方法。以往的差分方法大多數(shù)是基于GrunwaldLetnikov導(dǎo)數(shù)得到的逼近格式

4、[913]，或基于數(shù)值積分的思想[1315]，或利用Ridson外推技巧[1016]等方法來(lái)得到的。作為一個(gè)新的方法，tigueira[17]給出了分?jǐn)?shù)階中心差分（FractionalCentredDifference）的定義，證明了解析函數(shù)的Riesz導(dǎo)數(shù)可以由分?jǐn)?shù)階中心差分來(lái)表示。C.Celik[18]等用分?jǐn)?shù)階中心差分的定義構(gòu)造了一種二階精度的CrankNicholson差分算法。本文將利用分?jǐn)?shù)階中心差分構(gòu)造Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)

5、散方程的加權(quán)平均差分格式，分析相應(yīng)格式的穩(wěn)定性和收斂性，用數(shù)值算例驗(yàn)證算法的可行性。這里考慮如下的帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題（1）()()()in[](0]uxtuxtDpxtabTtx?????????初邊值條件為：，。()()00uatubtt???0(0)()[]uxuxxab??，，111nnMjjjnnkjkjkjuuDhgup???????????????1nnMjjjnnkj

6、kjkjuuDhgup?????????????根據(jù)上述隱式和顯式Euler格式，用加權(quán)平均的方法給出其如下差分格式：。（5）111(1)(1)nnMjMjjjnnnnkjkkjkjjkjkjuuDhguDhgupp??????????????????????????????其中，為加權(quán)因子。01???對(duì)帶齊次Dirichlet邊界條件的Riesz空間分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程的初邊值問(wèn)題，用分?jǐn)?shù)階中心差分離散Riesz空間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，再將時(shí)間導(dǎo)數(shù)

7、用隱式和顯式Euler格式的加權(quán)平均的進(jìn)行離散，從而得到其全離散格式為：（6）11000(1)111()121001nnMjMjjjnnnkjkkjkjkjkjjjnnMuuDhguDhgupjMnuuxjMuun??????????????????????????????????????其中，。1(1)nnnjjjppp????????2誤差分析誤差分析由的表達(dá)式，容易得出下面的結(jié)論[18]。kg引理引理2關(guān)于系數(shù)有如下性質(zhì)：kg（i

8、）；??02(1)0(1)2g????????（ii）；00kgfk??（iii）；kkgg??（iv）。00kkgg???在文獻(xiàn)[18]中給出了數(shù)值逼近的系數(shù)與生成函數(shù)的關(guān)0lim()()hkhkhfxhgfxkh??????????????系，即，其中。2sin()2ikzkkzge???????zR?當(dāng)時(shí)，上式變成，根據(jù)性質(zhì)（i）和（ii）中的正負(fù)情況，則有0z?0kkg??????kg。于是（iv）得證。000kkkkggg??