非線性方程組的數(shù)值算法研究畢業(yè)論文

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文檔簡介

1、　　南昌工程學院　　畢業(yè) 論文　　理學系（院）信息與計算科學專業(yè)　　畢業(yè)論文題目非線性方程組的數(shù)值算法研究 　　學生姓名張浩浩 </

2、p>　　班級 09信息與計算科學 　　學號 2009101533 　　指導教師禹海雄 　　完成日期2013年04月13<b

3、>　　目錄　　摘要3　　Abstract4　　第一章緒論5　　第二章、求解非線性方程組的幾種方法6

4、　2.1、牛頓法6　　2.1.1牛頓法的引入與介紹6　　2.1.2牛頓法的算法8　　2.1.3牛頓法代碼程序編程8　　2.2、擬牛頓法11　　2.2.1擬牛頓法的引入與介紹11

5、　　2.2.2擬牛頓法的算法12　　2.2.3擬牛頓法的題例分析12　　2.3、割線法14　　2.3.1割線法的引入與介紹14　　2.3.2割線法的總結陳述15　　3.3.3割線法題例分析16<

6、;/p>　　結束語18　　參考文獻19　　致謝詞20　　非線性方程組的數(shù)值算法研究　　Study on numerical

7、algorithms for nonlinear equations　　總計畢業(yè) 論文 21 頁　　表格 2 個　　摘要　　論文講解的是非線性

8、方程的數(shù)值的求解方法，課本中我們接觸到求解線性方程的方法比較多，相對于求解非線性方程組數(shù)值方法比較繁瑣和計算量大，同時課本上只是簡單介紹非線性方程組數(shù)值的求解方法。我在圖書館查閱了資料和在老師的指導下，仔細研究把思路整理如下：我在這邊論文就如何求解非線性數(shù)值的求解方法闡述了牛頓法、擬牛頓法、割線法三種方法來求解非線性方程組數(shù)值，并且通過了列舉了題例可以比較更鮮明的可以看出3種方法的聯(lián)系和特點。

9、　關鍵詞：Newton法、迭代法、擬Newton法。　　.　　Abstract　　The paper explained that the method of solving nonlinear equations numerically

10、, text we come into contact with the method of solving linear equation more, compared with the numerical method for solving nonlinear equations is complicated and large amount of calculation, at the same time the textboo

11、k only briefly method for solving nonlinear equations. I looked up information and under the guidance of the teacher in the library, a careful study of the ideas as follows: I how to solve nonlinear num<p&

12、gt;　　Keywords: Newton method, iterative method, quasi Newton method.　　第一章緒論　　我們先了解非線性方程組的一般形式如下：　　我們可以看出是在空間的實值函數(shù)。

13、我們再用向量轉換下可以得到：　　，x=，0=　　我們此時可以把方程換成：　　。（1）　　我們可以把F可以看做在區(qū)域內展開的非線性映像，表示為&

14、lt;p>　　下面我們來介紹簡單的邊值問題：　　，。（2）　　我們此時定義f在D=上二階可微連續(xù)，　　現(xiàn)在我們求解（2）上x的數(shù)值。　　我們用差分方法離散化得到：　　， j=0,1,2,3，、、n+1 ，<

15、/p>　　在得到：　　j+1,2，、、、n，　　我們在轉化矩陣又可以得到：　　A=　　在從映像轉換成：&l

16、t;p>　　，　　方程（2）轉化為：　　Ax+=0　　本論文將介紹求解非線性方程組的牛頓法，迭代法，牛頓法，這是本人對非線性方程數(shù)值求解的認識，我會使用這些方法并為為開展進一步研究。</p

17、>　　第二章、求解非線性方程組的幾種方法　　2.1、牛頓法　　2.1.1牛頓法的引入與介紹　　我們在學習中關于方程f（x）=0的求解這種題型接觸的太多了，f（x）作為線性方程函數(shù)，解法多樣也很容易求解值。我們來比較一下牛頓法，牛頓法簡單的來說其實也

18、是一種線性化方法，他的理念就是把非線性方程f（x）轉化成某種類型的線性方程求解x的值。非線性方程不過是線性方程的擴展，非線性方程組就是在此基礎上加以延伸。　　下面我們來介紹了解一下牛頓法的理論：　　我們看下例題：　?。?）</p&g

19、t;　　從上面非線性方程組我們可以看出，... 是的多元函數(shù)，這是我們也可以用向量把它轉化為　　我們同時把他轉化為：　　（2）　　我們可以看出時，至少有一個變量是在的非線性函數(shù)，我們這時（1）就可以看作非線性方程組，非線性方程組的求解實際上就是n=1求根

20、的應用。也就是把單一變量的函數(shù)轉化為向量函數(shù)，這個時候就可以用求解單變量的方法來求解非線性方程組（2）。若果知道方程組=0的一個近似根，再用函數(shù)的分量在用多元函數(shù)泰勒的方法展開，提取線性方程就可以得到：　　，　　我們令，

21、　　得到：　　（3）　　其中（4）　　我們這時可以把（4）作為雅克比矩陣，（3）的線性方程組的解我們記作為，就可以得到：　　（k=0,1,2，.....）。

22、（5）　　這就是我們所說的求解非線性方程組（2）的牛頓法。　　下面我們來簡單介紹非線性方程組求解牛頓法的算法：　　從上面的實例我們可以看得出牛頓法求解非線性方程的主要理論是用在（k=0,1,2，...）的基礎上進行迭代計算。我們這時所要做的就是計算出F（x）的雅克比矩陣，通過得到它的逆，直到達到所需要

23、的精度的范圍內才停止迭代。　　2.1.2牛頓法的算法　　牛頓法算法如下：　　1．首先我們把所要求解的非線性方程組定義為，并為之確定精度。　　2．把轉化為雅克比矩陣，得到。求解方法如下：　　3．

24、重復第二步方法，求解雅克比矩陣的逆。另外把乘以單位矩陣，我們可以用單位矩陣轉換求解的逆用來保存。　　4．與的相乘　　5．再用（k=0,1,2，.....）來迭代。　　6.最后我們注意的時精度，其精度時，我們需要重復2—5次，一直使精度達到最?。ň龋r停止迭代，最后的迭代結

25、果為。　　2.1.3牛頓法代碼程序編程　　最后我們介紹代碼的編程：　　#include <iostream.h>　　#include <stdlib.h>　　#include <math.h>&

26、lt;/p>　　#include <conio.h>　　#define f0(x1,x2) (x1+2*x2-3)　　#define f1(x1,x2) (2*x1*x1+x2*x2-5)　　#define x_ 0.000001

27、　　#define matrixNum 2　　double *matrixF2(double *x);　　int y=0;　　void main()　　{

28、　　int i,j,n;　　double p,*x;　　double *b;　　double *matrixF; //矩陣F　　double *matrixF_; //矩陣F的雅可比矩陣的逆 　　b=(double *

29、)malloc(matrixNum);　　matrixF=(double *)malloc(matrixNum);　　matrixF_=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum);　　cout<<"請輸入初值:";<p&

30、gt;　　for(i=0;i<matrixNum;i++)　　cin>>*(x+i);　　do　　{　　p=0.0;

31、　　for(i=0;i<matrixNum;i++)　　*(b+i)=0;　　*matrixF=f0(*x,*(x+1));　　*(matrixF+1)=f1(*x,*(x+1));　　matrixF_=mat

32、rixF2(x);　　for(i=0;i<matrixNum;i++)　　{　　for(j=0;j<matrixNum;j++)　　*(b+i)+=*(matrixF_+i*matrixNum+j)*(*(matrixF+

33、j));　　*(x+i)=*(x+i)-*(b+i);　　cout<<*(x+i)<<" ";　　}　　cout<<endl;　　for

34、(i=0;i<matrixNum;i++)　　p+=pow(*(b+i),2);　　y++;　　}while(sqrt(p)>x_);　　cout<<"停止迭代，最終迭代結果為"<&l

35、t;*x<<','<<*(x+1)<<""<<endl;　　delete [] matrixF;　　delete [] matrixF_;　　getch();<p

36、>　　}　　double *matrixF2(double *x)　　{　　int i,j;　　double t; <p&

37、gt;　　double *matrixF1; //矩陣F的雅可比矩陣　　double *matrixF2; //矩陣F的雅可比矩陣的逆 　　matrixF1=(double *)malloc(matrixNum*matrixNum);　　matrixF2=(double *)malloc(matrixNu

38、m*matrixNum);　　for(i=0;i<matrixNum;i++)　　for(j=0;j<matrixNum;j++)　　if(i==j)　　*(matrixF2+i*matrixNum+j)=1;</p

39、>　　else *(matrixF2+i*matrixNum+j)=0;　　*matrixF1=(f0((*x+x_),*(x+1))-f0(*x,*(x+1)))/x_;　　*(matrixF1+1)=(f0(*x,(*(x+1)+x_))-f0(*x,*(x+1)))/x_;　　*

40、(matrixF1+2)=(f1((*x+x_),*(x+1))-f1(*x,*(x+1)))/x_;　　*(matrixF1+3)=(f1(*x,(*(x+1)+x_))-f1(*x,*(x+1)))/x_;　　//for(i=0;i<matrixNum;i++)　　// cout<<*(

41、x+i)<<endl; 　　cout<<"矩陣F在["<<*x<<','<<*(x+1)<<"]的雅可比矩陣"<<endl;　　for(i=0;i<matrixNum;i++)

42、　　{　　for(j=0;j<matrixNum;j++)　　cout<<*(matrixF1+i*matrixNum+j)<<" ";　　cout<<endl;<p

43、>　　}　　//求矩陣F的雅可比矩陣的逆 　　t=*matrixF1;　　for(i=0,j=0;j<matrixNum;j++) 　　{&

44、lt;p>　　*(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t;　　*(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t;　　}　　t=*(matrixF1+1*matrixNum);　　for(i=1,j=0;j&

45、lt;matrixNum;j++)　　{　　*(matrixF1+i*matrixNum+j)-=*(matrixF1+j)*t;　　*(matrixF2+i*matrixNum+j)-=*(matrixF2+j)*t;<b&g

46、t;　　}　　t=*(matrixF1+1*matrixNum+1);　　for(i=1,j=0;j<matrixNum;j++)　　{　　*(matrixF1+i*matrixNum+j)/=t;</

47、p>　　*(matrixF2+i*matrixNum+j)/=t;　　} 　　t=*(matrixF1+1);　　for(i=i,j=0;j<matrixNum;j++)　　{

48、　　*(matrixF1+j)-=*(matrixF1+i*matrixNum+j)*t;　　*(matrixF2+j)-=*(matrixF2+i*matrixNum+j)*t;　　}　　for(i=0;i<

49、;matrixNum;i++) 　　{　　for(j=0;j<matrixNum;j++)　　cout<<*(matrixF1+i*matrixNum+j)<<" ";<p&g

50、t;　　cout<<endl;　　}　　for(i=0;i<matrixNum;i++) 　　{　　for(j=0;j<matrixNum;j++)&l

51、t;/p>　　cout<<*(matrixF2+i*matrixNum+j)<<" ";　　cout<<endl;　　}　　cout<<"第"<<y

52、<<"次迭代結果為"<<*x<<','<<*(x+1)<<""<<endl;　　getch();　　return matrixF2;　　delete

53、 [] matrixF1;　　delete [] matrixF2;　　}　　最后總結：我們可以從上面的實例可以得到，牛頓法是求解非線性方程組最簡單的一種線性方法，它的構想是通過非線性方程組以線性方程組轉化，從而來形成一種迭代形式然后迭代達到迭代次數(shù)來逼近，最終來求解。牛頓法

54、的迭代方式通常都是最少2次迭代以上，并且收斂速度快。因此可以說是最常用的求解非線性方程組的方法　　2.2、擬牛頓法　　2.2.1擬牛頓法的引入與介紹　　上面我們詳細介紹了牛頓法求解非線性方程組數(shù)值，我們仔細留一下，我們會發(fā)現(xiàn)牛頓法雖然有很好的收斂性，你有沒有發(fā)現(xiàn)牛頓法對它的初

55、值要求的什么嚴格，每步迭代都要計算，是個偏導數(shù)值建立的矩陣，我們不可能遇到的都是簡單的數(shù)據(jù)，假如我們遇到每個數(shù)值都很復雜，這個時候我們將無法進行計算。例如n數(shù)值很大時，我們不僅要浪費時間，同時每步迭代都要求解線性方程組，計算工作量太大。同時還有其它問題，假如迭代過程中有一步處有奇異，那么這個時候牛頓法將無法計算。為了克服以上缺點我們下面來介紹擬牛頓法。　　我們聽到擬牛頓法就知道是對牛頓法的改進，

56、例如我們用矩陣來近似的轉換代替，這時我們就可以看到這樣形式的迭代法：　　k=0，1,2,3，.....................。　　我們把定義為非奇異的。　　我們?yōu)榱撕唵位?，追求計算簡單，我們就不多次計算逆矩陣，直接定義無限接近的逆矩陣，那么迭代就可以轉化為：，。

57、　　2.2.2擬牛頓法的算法　　現(xiàn)在我們來說下擬牛頓法的算法過程：　　首先我們要確定的初值，數(shù)值的精確度：，，并定義初始矩陣為：；　　其次求解的數(shù)值，假如，那么就令，停止；　　把進行迭代計算；

58、　　在求解；　　，代入上面的（2），來循環(huán)計算。　　下面我為大家介紹一個實例來說明我的觀點：　　2.2.3擬牛頓法的題例分析　　我們首先看下面的非線性方程組：　　定義：，精度

59、。　　對于上面的非線性方程組我用了擬牛頓法算法的源程序進行迭代計算得到了以下數(shù)據(jù)，我用了圖表表（1）表示：　　表1的迭代數(shù)值　　我們通過看上面的迭代結果可以得出：，，，||||的數(shù)值變化不是很大，精度取到取0.00000001，這是我們看到理論值于迭代值幾

60、乎相同。擬牛頓法可以很簡單將不管是奇異還是接近于奇異的非線性方程組求解。這就說明了擬牛頓法的計算量小，不復雜，同時收斂性好。　　2.3、割線法　　2.3.1割線法的引入與介紹　　上面我們已經(jīng)介紹了求解非線性方程組的兩種方法：牛頓法和擬牛頓法?，F(xiàn)在我們來介紹另一種方法割線法，它

61、是通過計算函數(shù)值的一種迭代方法，這種方法簡單而且計算有效方便。　　下面我們討論一個非線性方程組：　?。? .1）　　我們知道建立非線性方程組迭代法，有一個特別簡單的方法就是轉化成線性方程　?。? .2）</b&

62、gt;　　我是通過無限接近（3 .1）求解的?？梢钥吹贸鲆粋€非奇異矩陣，，我們已知F（x）在某點上的值，就可以利用插值得的方法來進一步確定方程（3 .2）中的和，從而得到這一類不用到算導數(shù)就可以求數(shù)值的方法，這就是我準備所要介紹的割線法：　　我們假設在中n+1個上面有互不相同的點（j=0.，1，...n）上所對應的函數(shù)值F（），這是我們可以得到：<

63、/p>　　， i=0 ，.......n。（3. 3）　　那么我們就可以用插值的方法確定和的數(shù)值。　　此時再將（3.1）的K次近似解，記作為，同時取n個輔助點，... ，這時我們可以從（3.3）求解得　　和</p&g

64、t;　　，i=1，.......n，　　為個達到分割，我們令兩式相減得到：　　，i=1，.......n，（3.4）　?。?.5）　　可以從（3.4）求解得到：&l

65、t;p>　　，　　我們再由求解（3.5）求的，　　將結果聯(lián)合（3.2）得到　?。?.6）　　通過（3.4）我們可以知道，這時給出的n+1個點，，只要滿足一定的條件就可以求出，</p&g

66、t;　　2.3.2割線法的總結陳述　　下面看看我的總結陳述如下：　　我們定義為在中如果任何的一個n+1組成的n個向量，， i=1,2，...，n ，他們是線性相關，這時候我們可以把這組點{}在一般位置上。　　1，非奇異矩陣（）可以滿足條件；.　　2

67、，n個向量，（i）可以組成的一組基　　3，在 y區(qū)間，都不存在不全為0的常數(shù)，或或。　　現(xiàn)在來闡述一下割線法的幾何意義：　　我們知道雙點割線法是將過點和的割線與軸交點的橫坐標作為方程的根的近似值,可以重復此過程進行運算，將和這兩點的割線與軸交點的橫坐標理解為方程解的近似值。簡單的說單點割線法是用過點和的割線與軸交

68、點的橫坐標作為方程的根的近似值。　　割線法提例：　　3.3.3割線法題例分析　　用雙點割線法求方程　　在區(qū)間上的根，

69、　　在MATLAB命令窗口執(zhí)行。　　進行迭代6次后得到計算結果，下圖表2　　表2 　　(3)下面我們來介紹割線法的收斂速度　　我們以方程為例，假設它的根為，那么假設在附近有二階連續(xù)導數(shù)，，那么初值就會無限接近，此時雙點割線法的迭代

70、過程收斂，收斂速度的計算方法為：　　這說明，　　由此我們從上面得出結論，單點割線法時線性收斂的而雙點割線法是超線性收斂的。　　我們把輔助點定位，i=1，...，n，其此時作為第i個分量為1的坐標向量，是的已知向量，得到<b&g

71、t;　　=　　=　　我們如果把它記作為：，　　其中　　此時這種割線法可以轉化為：　?、?lt;/b></

72、p>　　我們通過割線法轉化得到的也可以說是離牛頓法。　　結束語　　現(xiàn)在的科學研究中，面對很多實際問題都無法用線性表達式有規(guī)律的計算出結果，而很多問題實際上都是非線性問題，非線性問題相比較線性問題要麻煩的多，我們常常需要構造一個非線性方程通過對數(shù)值的研究計算與探考，求出結果。然而隨著科學的發(fā)

73、展，現(xiàn)在非線性的問題已經(jīng)應用到在科學計算以及工程領域等多個方面，因此，研究非線性方程對科學計算和工程應用等領域有很高的價值和意義，這也是這篇論文探考求解非線性方程數(shù)值的方法。　　本文主要研究了非線性方程迭代法的相關運算以及Newton法，主要介紹了求解非線性方程目前比較常用的幾種迭代方法，牛頓法、割線法、。通過對幾種方法的計算精度和收斂性等作出比較，而得出結論，在這一章還介紹了一種求解非線性方程

74、的新的迭代法，相比其他傳統(tǒng)的迭代法，新的迭代法有其迭代收斂速度更快、精度更高等特點　　最后我再次對自己隨寫的論文坐下總結，對于非線性方程組的求解數(shù)值的方法，論文介紹了牛頓法，擬牛頓法，割線法這三種最常見的方法，并把其算法步棸進行了闡述，形象簡單，容易讓人接受。　　參考文獻

75、[1] 徐萃薇、孫繩武、計算方法引論。北京:高教出版社 2001.　　[2] 曾金平、數(shù)值計算方法。長沙:湖南大學出版社 2004. 　　[3]曲建明、求解非線性方程的拋物線迭代。　　[4] 林成森、數(shù)值計算方法。北京:科學出版社，1988.　　學出版社，2005、

76、　　[5]李慶樣、王能超、易大義。北京：清華大學出版社，2001.8　　[6]關冶，陸金蒲，數(shù)值分析基礎。高等教育出版社 1988.5　　[7]鄧建中，葛仁杰，程正興，計算方法，西安交通大學　　[8]王則柯，計算的負責性，湖南教育出版社<p

77、>　　致謝詞　　本人2個月的時間終于將這篇論文寫完，在論文的寫作過程中遇到了無數(shù)的困難，都在同學和老師的幫助下度過了。尤其要特別感謝我的論文指導老師—禹海雄老師，她對我進行了無私的指導和幫助，不厭其煩的幫助進行論文的修改和改進。另外，在校圖書館查找資料的時候，里面有我需要的各種資料和體例。在此向幫助和指導過我的各位老師表示最衷心的感謝！</p&g

78、t;　　感謝這篇論文所涉及到的各位學者。本文引用了數(shù)位學者的研究文獻，如果沒有各位學者的研究成果的幫助和啟發(fā)，我將很難完成本篇論文的寫作。感謝我的同學和朋友，在我寫論文的過程中給予我了很多參考素材，還在論文的撰寫和排版等過程中提供熱情的幫助。　　由于我的學術水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請各位老師和學友批評和指正同時衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位專家、教

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