求解非線性方程組的若干迭代算法之研究.pdf

1、本文主要研究Banach空間內(nèi)求解非線性方程組f(x)=0的理論分析問題,特別是對(duì)Newton法,不精確Newton法(inexact Newton method),Newton-like方法的局部收斂性和半局部收斂性進(jìn)行了詳細(xì)的討論,并給出新的結(jié)果。 Newton法xk+1=xk-f’(xk)-1f(xk)是用來求解非線性方程組常用的辦法。因?yàn)樵诔跏冀谱銐蚝玫那樾蜗?Newton序列能快速地收斂到方程的根,而且計(jì)算時(shí)每步計(jì)算

2、只與前一步有關(guān),誤差不傳播,是自校正的,在理論和實(shí)際應(yīng)用上都是一種重要的方法,為很多數(shù)值工作者所青睞。而自Newton法提出以來,關(guān)于Newton法的理論分析一直都沒停止過,涌現(xiàn)出大量的成果,主要包括Newton法的局部收斂性定理,特別是收斂球與唯一性球半徑的研究；Newton法的半局部收斂定理,特別是Mysovskii型定理和Kantorovich型定理的發(fā)展；以及Newton法的全局收斂性定理等。其中,Kantorovich定理以其

3、典型的條件,確切的結(jié)果成為研究Newton法半局部收斂性的典范。在對(duì)其條件結(jié)論的種種改進(jìn)發(fā)展中,Wang([13])中給出的Newton法的半局部收斂性定理有很強(qiáng)的概括性,它將Kantorovich型條件和Smale型條件統(tǒng)一起來。這里我們給出這個(gè)結(jié)果新的應(yīng)用,可以推出Argyros([14])中給出的含f的m階導(dǎo)數(shù)信息的半局部收斂性定理(即定理2.1.3),并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)。 定理0.1若f滿足Argyros([14])定理

4、的條件： (1)||f'(x0)-1f(X0))||≤β,(2)||f'(x0)-1f(i)(X0))||≤αi,i=2,…,m,(3)||f'(x0)-1[f(m)(x)-f(m)(x0)]||≤αm+1||x-x0||Ax∈Do,(4)p2(s)≤0,這里P2(r)定義如下： p2(r)=αm+1/(m+1)!rm+1+am/m!rm+…+α2/2r2-rβ,這里s是P'2(r)的一個(gè)根。 那么f滿足Wang

5、([13])定理的條件： 由于Newton法每步都需要解一個(gè)線性方程組f'(xk)△k=-f(xk)(通常稱為Newton方程組),在未知量比較多的情況下,若用消去法等直接方法求其精確解,計(jì)算代價(jià)是十分高的。正是出于此原因,Dembo-Eisenstat-Steihaug([59])提出求Newton方程組的近似解(例如用迭代法求解該方程組),即f’(xk)△k+f(xk)=rk,稱之為不精確Newton法(inexact Ne

6、wton method)。我們?cè)诮榻B了該方法已有的局部收斂性以及半局部收斂性結(jié)果后,給出f'在滿足弱條件下不精確Newton法的Kantorovich型收斂性定理,并在余項(xiàng)rk≡0的情況下得到關(guān)于Newton法的著名的半局部收斂性定理。 定理0.2假設(shè)f:D C X→Y在S(x0,δ)C D上Frechet可微,X0∈D為給定的初始近似且f'(x0)-1存在。令L(u)是[0,δ]上正的非降函數(shù),ρ(x)=||x-xo||,ρ(