幾類Volterra泛函微分方程數(shù)值方法的穩(wěn)定性分析.pdf

1、泛函微分方程(FDEs)在自動(dòng)控制、生物學(xué)、壓學(xué)、化學(xué)、人口學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，其理論和算法研究具有無可置疑的重要性．近三十年來，Volterra泛函微分方程(VFOEs)，特別是其重要子類——延遲微分方程(DDEs)的算法理論研究得到了眾多學(xué)者的高度關(guān)注，取得了大量研究成果．例如在DDEs數(shù)值方法線性穩(wěn)定性研究領(lǐng)域， Barwell、Watanabe、Zennaro、Spijker、in’t Hour、Bellen、Ja

2、ckiewicz、劉明珠、匡蛟勛、田紅炯、張誠堅(jiān)及胡廣大等人作了大量工作，其中主要成果可參見Bellen和Zennaro及匡蛟勛的專著；DDEs數(shù)值方法非線性穩(wěn)定性研究始于1989年Tonelli及1992年Bellen和Zennaro的工作． 1999年，黃乘明、李壽佛等人在BIT發(fā)表的論文指出Torelli穩(wěn)定性是一個(gè)僅有極少數(shù)低階方法才能滿足的過于苛刻的概念，并提出了一個(gè)新的更為合理的穩(wěn)定性概念．在此基礎(chǔ)上，使得DDEs數(shù)值方法非

3、線性穩(wěn)定性研究得以蓬勃發(fā)展．盡管當(dāng)時(shí)的研究仍局限于常延遲、等步長、線性插值及負(fù)的Lipschitz常數(shù)，但研究對象幾乎遍及包括線性多步法和Runge-Kutta方法在內(nèi)的一切常用算法，獲得了大量新的數(shù)值穩(wěn)定性結(jié)果． VFDEs數(shù)值方法的基于經(jīng)典Lipschitz條件的收毀陛研究已獲得大量成果，例如可參見李壽佛1997年的專著，關(guān)于DDEs數(shù)值方法的經(jīng)典收斂性研究可參見Oberle，Pesch，Bellen、Zennaro，Tav

4、ernini，Arndt，Enright，F(xiàn)eldstein、Neves、Karoul、Vaillancourt、Baker和Paul等人的工作．然而這些收斂性理論僅適用于非剛性問題，不適用于剛性問題．非線性剛性DDEs數(shù)值方法的收斂性研究始于張誠堅(jiān)等人1997的工作，他們提出了Runge-Kutta方法的D-收斂概念，并征明了若干隱式Runge-Kutta方法能滿足這一要求． 其后，黃乘明等人從他們提出的新的更為合理的數(shù)值穩(wěn)定

5、性概念出發(fā)，獲得了關(guān)于隱式Rung~Kutta方法和一般線性方法的大量D-收斂性結(jié)果．近年來，李壽佛在《中國科學(xué)》等刊物上發(fā)表一系列論文，進(jìn)一步建立了一般的非線性剛性VFDEs的穩(wěn)定性理論及其數(shù)值方法(包括Runge-Kutta方法和一般線性方法)的B穩(wěn)定性與B-收斂性理論，后者統(tǒng)稱為數(shù)值方法的B-理論，可視為Dahlquist、Butcher、Frank及李壽佛等人所建立的剛性常微分方程數(shù)值方法的B-理論的進(jìn)一步推廣．應(yīng)當(dāng)指出，這里所

6、建立的新理論比文獻(xiàn)中已有的理論不僅更加一般，而且更為深刻．該理論為非線性剛性常微分方程(ODEs)、非線性剛性延遲微分方程、非線性剛性積分微分方程(IDEs)以及實(shí)際問題中遇到的其他各種類型的剛性泛函微分方程的穩(wěn)定性研究及其數(shù)值方法的穩(wěn)定性與收斂性分析提供了統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)． 然而應(yīng)當(dāng)指出，李所建立的新理論目前尚術(shù)包括非線性中立型泛函微分方程，且B-理論僅適用于有限的積分區(qū)間，不適用于需要在無窮的時(shí)問區(qū)問上考慮的動(dòng)力系統(tǒng)．為了彌補(bǔ)

7、這一美中不足，本文主要致力于研究非線性中立型volterra泛函微分方程(NVFDEs)和非線性剛性延遲積分微分方程(DIDEs)數(shù)值方法的穩(wěn)定性以及VFDEs數(shù)值方法的動(dòng)力學(xué)掙陛．所獲主要結(jié)果如下： (1)給出了Rα，β類非線性中立型延遲微分方程(NDDEs)理論解的穩(wěn)定性及漸近穩(wěn)定性條件，在此基礎(chǔ)上，系統(tǒng)研究了求解該類NDDEs的單支方法、Runge-Kutta方法與一般線性方法的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性以及線性θ-方法的漸近穩(wěn)定

8、性，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所獲理論的正確性．由于非線性NDDEs自身的復(fù)雜陛，至今只有少量文獻(xiàn)研究其數(shù)值穩(wěn)定性，如Bellen、Guglielmi和zennaro[84]、vermigo和Torelli[85]及王晚生和李壽佛[45]，但上述文獻(xiàn)足以Torelli穩(wěn)定性概念為基礎(chǔ)的，僅有隱式Euler法和2級2階LobattoIIIC方法等極少數(shù)低階方法才能滿足這種苛刻要求．張誠堅(jiān)[42]給出了Rαβ類NDDEs理論解穩(wěn)定及漸近穩(wěn)定的一個(gè)充

9、分條件，并以此為基礎(chǔ)研究了RungeKuttta方法的穩(wěn)定性，但該文對滿足條件的問題有較苛刻的限制．本文從類似于黃乘明等人所建立的更為合理的穩(wěn)定性概念出發(fā)，在新的更弱的條件下獲得了包括Runge-Kutta方法在內(nèi)的各種常用數(shù)值方法的一系列穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定一性結(jié)果． (2)針對D(α，β1，β2，γ）類非線性剛性延遲積分微分方程(DIDEs)，研究了單支方法、一般線性方法的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性以及線性θ方法盼漸近穩(wěn)定性，數(shù)值試驗(yàn)結(jié)

10、果驗(yàn)證了所獲理論的正確性．此前張誠堅(jiān)等人[41]針對上述問題研究了Runge-Kutta方法的穩(wěn)定性，本文工作涉及的方法較之更為廣泛．最近，樊華和劉紅良分別在其碩士論文[107，108]中將李的B-理論應(yīng)用于DDEs、IDEs及DIDEs，獲得了一系列新的數(shù)值穩(wěn)定性與收斂性結(jié)果，他們的結(jié)果針對變延遲問題及高階方法，但僅適用于有限的積分區(qū)間．本文這部分工作的特點(diǎn)是僅討論常延遲問題，但所獲結(jié)果適用于無限的積分區(qū)間，同時(shí)包括漸近穩(wěn)定性結(jié)果．

11、 (3)研究了D(α,β1,β2,β3,γ,δ)類非性中立型延遲積分微分方程(NDIDEs)的數(shù)值穩(wěn)定性，獲得了單支方法、Runge-Kutta方法、一般線性方法穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定以及線性θ-方法漸近穩(wěn)定的充分條件，數(shù)值試驗(yàn)驗(yàn)證了上述理論的正確性．據(jù)我們所知，迄今僅有少數(shù)作者研究了線性NDIDEs的數(shù)值穩(wěn)定性，研究非線性NDIDEs數(shù)值穩(wěn)定性的工作在國內(nèi)外文獻(xiàn)中尚未見到． 需要指出的是，DDEs是本文研究的Rα，β類NDDEs

12、，D(α，β1，β2，γ)類DIDEs，在D(α，β1，β2，β3，γ，δ)類NDIDEs的特殊情形，將本文所獲理論應(yīng)用于DDEs，相應(yīng)的結(jié)果與黃乘明等人得到的結(jié)果[35-37，113]一致，故本文可視為黃乘明等人的工作在NDDEs，DIDEs及NDIDEs等研究領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展． (4)研究了有限維歐氏空問Rm中非線性剛性VFDEs梯形方法的B-穩(wěn)定性和B-收斂性，證明了求解剛性VFDEs的梯形方法是弱B-穩(wěn)定且2階B收斂的，