兩類非線性波動(dòng)方程的定解問題.pdf

1、本文研究?jī)深惙蔷€性發(fā)展方程的初邊值問題和Cauchy問題,在一定條件下證明這些問題局部廣義解,整體廣義解和整體古典解的存在唯一性,整體解的衰減性,并給出解發(fā)生爆破的充分條件。主要結(jié)果包括以下四部分的內(nèi)容。
　　在第二章,借助于常微分方程的Green函數(shù),利用壓縮映射原理和解的延拓定理證明具有阻尼的廣義IMBq方程的初邊值問題整體廣義解和整體古典解的存在唯一性和正則性,并給出解在有限時(shí)刻爆破的充分條件。
　　主要結(jié)果如下:定理

2、1若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],,u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,f∈C3(R),g∈.C1(R),|f’(s)|,|g’(s)}≤C1,則問題(1)-(3)存在唯一整體古典解u∈C2([0,T];C2[0,1]),(?)T＞0.定理2若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,g=g∈C3(R),且其中F(s)=(?),A,B＞0是常數(shù).則問題(1)-(

3、3)有唯一整體古典解u∈C2([0,T];C1[0,1]),(?)T＞0.定理3若u0(x),u1(x)∈C3[0,1],u0(0)=u0(1)=u1(0)=u1(1)=0,g=0,αβ+γ=0,f∈C3(R),且滿足(4)式及其中C,D＞0是常數(shù).則問題(1)-(3)存在唯一整體古典解u∈C2([0,T];C2[0,1]),(?)T＞0.定理4設(shè)u(x,t)為問題(1)-(3)的古典解,若以下條件成立:其中λ=π2,(3)(?)增長(zhǎng)的

4、足夠快,使得當(dāng)αβ-λγ＞。時(shí),收斂,且B0＜1;或者當(dāng)αβ-λγ≤0時(shí),收斂.則當(dāng)αβ-λγ＞0時(shí),存在有限時(shí)刻t0≤T2=(?),使得當(dāng)αβ-λγ≤0時(shí)。
　　存在有限時(shí)刻t0≤T1,使得在第三章,借助于常微分方程的基本解,通過壓縮映射原理和解的延拓定理證明具阻尼廣義IMBq方程的Cauchy問題在Wk,p(R)中的整體強(qiáng)解和整體古典解的存在唯一性和正則性,并且給出解爆破的充分條件。主要結(jié)果為定理5假設(shè)u0,u1∈Wk+2,p

5、(R),f,g∈Ck+3(R),其中k＞1/p,且對(duì)于任意s∈R,|f’(s)|,|g’(s)|≤A0.則問題(5),(6)有唯一整體古典解u∈C3([0,∞);Wk+2,p(R)),即u∈C3([0,∞);C2(R)∩L∞(R)).定理6假設(shè)u0,u1∈Wk+2,p(R),g=g∈Ck+3(R),其中k＞1/p,F(s)≤0,或者f’(s)≤A0.則問題(5),(6)有唯一整體古典解u∈C3([0,∞);Wk+2,p(R)),即u∈C

6、3([0,∞);C2(R)∩L∞(R)).定理7假設(shè)u0,u1∈Wk+2,p(R)∩L2(R),∧-1u1∈L2(R),g=0,β=0,f∈Ck+3(R),其中k＞1/p為非負(fù)整數(shù),且F(u0)∈L1(R),f’(s)≤A0或者F(s)≤0,且滿足其中A,B＞0為常數(shù),A-rΨ=F-1(|x|-r)FΨ(x)),F,F-1分別表示Fourier變換和Fourier逆變換.則問題(5),(6)有唯一整體古典解u(x,t)∈C3([0,∞)

7、;Wk+2,p(R)n L2(R)),即u∈C3([0,∞);C2(R)∩L2(R)∩L∞(R))。定理8假設(shè)β=0,γ≤0,g(s)=0,f(s)∈C(R),F(s)=(?),u0,u1∈L1(R),∧-1u0,∧-1u1∈L2(R),F(u0)∈L1(R)和存在常數(shù)δ1,δ2＞0,使得則Cauchy問題(5),(6)的解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破,如果下列條件之一成立:其中定理9假設(shè)β=0,γ≤0,g(s)=0,g(s)∈C(R),

8、F(s)=(?),u0,u1∈L2(R),∧-1u0,∧-1u1∈L2(R),F(u0)∈L1(R)和存在常數(shù)δ1,δ2＞0,使得則當(dāng)(?)(0)≤0,且時(shí),Cauchy問題(5),(6)的解在有限時(shí)刻爆破。
　　在第四章,借助于Fourier變換,通過壓縮映射原理和解的延拓定理證明具阻尼廣義IMBq方程的Cauchy問題(5),(6)在Hs(R)中的整體廣義解和整體古典解的存在唯一性。主要結(jié)果為定理10假設(shè)u0,u1∈Hs(R)

9、,g=f∈C[s]+1(R),s＞5/2,F(s)≤0,或者f’(s)≤A0.則問題(5),(6)有唯一整體解u(x,t)∈C2([0,∞);C2(R)).定理11假設(shè)u0,u1∈Hs(R),g=0,β=0,f∈C[s]+1(R),且s＞5/2.∧-1u1∈L1(R),且F(u0)∈L1(R),f’(s)≤A0或者F(s)≤0和滿足其中A,B＞0為常數(shù).則問題(5),(6)有唯一整體古典解u∈C1([0,∞);CB2(R))。
　

10、　在第五章,研究下列具有非線性阻尼邊界的粘性桿問題整體解的能量衰減借助于能量擾動(dòng)法和一個(gè)比較不等式證明在F(s)=s+|s|α-2(α≥2)和F(s)=|s|α-2(α＞2)條件下,問題(8)-(10)的整體解和f(x,t)有相同的指數(shù)衰減或代數(shù)衰減。主要結(jié)果有定理12(1)若存在M1≥0,λ1＞1,使得則存在C4＞0,成立(2)若存在M2≥0,λ2＞0,使得則存在C5＞0,成立其中,特別地,定理13若存在M3≥0,λ4＞1,成立則(?