最簡規(guī)范形及機電耦合非線性系統的分岔、混沌研究.pdf

1、規(guī)范形理論是化簡非線性振動系統的重要手段，對于研究分岔和混沌等復雜動力學問題具有深遠的影響。最簡規(guī)范形是在傳統規(guī)范形理論和非線性變換理論的基礎上，最大程度地化簡微分方程所得到的一種規(guī)范形。最簡規(guī)范形的研究與實際應用正朝著高維的方向發(fā)展，其求解過程非常復雜而繁瑣。但是，非線性動力系統經最簡規(guī)范形理論加以簡化后，可以簡捷地獲取其平衡點附近的動力學特性。針對最簡規(guī)范形和機電耦合非線性動力系統的動力學特性，論文的研究內容及取得的創(chuàng)新性成果有以下

2、幾個方面 （1）利用共軛算子法，研究了高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡規(guī)范形的系數。引進特殊的非線性變換和內積，進一步簡化了中心流形上的方程。獲得了幾個關于Hopf分岔和退化Hopf分岔的最簡規(guī)范形系數與傳統規(guī)范形系數之間具體關系的定理。借助Mathematica語言，編制了計算高維Hopf分岔和退化Hopf分岔最簡規(guī)范形系數的程序。通過該程序，只需輸入原動力系統方程，可得到系統具體的最簡規(guī)范形。最后利用編制的程序分別計算

3、了一個6維退化Hopf分岔系統的最簡規(guī)范形和一個5維Hopf分岔系統的最簡規(guī)范形。結果表明6維退化Hopf分岔系統的非線性項只包含5階項和9階項，5維Hopf分岔系統的非線性項只包含3階項和5階項。 （2）研究了高維Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡規(guī)范形的系數。根據最簡規(guī)范形理論，通過引進特殊的非線性變換、直接計算法利第二數學歸納法，對中心流形上的方程進一步化簡，計算出Neimark-

4、Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔最簡規(guī)范形的非線性項中分別只包含兩項。獲得了幾個關于Neimark-Sacker分岔和退化Neimark-Sacker分岔的最簡規(guī)范形系數與傳統規(guī)范形系數之間關系的定理。 （3）運用可逆線性變換和近恒同變換，研究了不經計算傳統規(guī)范形，直接計算高維非線性動力系統的最簡規(guī)范形。引進可逆線性變換，將非線性動力系統的線性矩陣拓撲等價于符合實際研究需求的分塊對角線矩陣：相伴矩陣分布在對

5、角線上，其余元素均為0。利用低階項來化簡高階項，得到了高維非線性動力系統的最簡規(guī)范形。在該最簡規(guī)范形中，對應于每一個相伴矩陣的非線性系數矩陣，只有最后一行含有非0元素，其余各行元素均為0。借助Mathematica語言，編制了計算高維非線性動力系統最簡規(guī)范形的通用程序。運行該程序，分別計算了2維、3維、4維、6維和7維非線性動力系統直到4階的最簡規(guī)范形。 （4）運用含有參數的可逆線性變換和含有參數的近恒同變換，提出了不計算傳統規(guī)

6、范形，直接計算含參非線性動力系統最簡規(guī)范形的一種計算方法。借助Mathematica語言，編制了計算含參非線性動力系統的最簡規(guī)范形的通用程序。 （5）利用含有參數的可逆線性變換和含有參數的近恒同非線性變換，得到一類機電耦合非線性系統的最簡規(guī)范形。進一步得到了該系統的普適開折以及開折參數與原系統參數之間的關系。討論了該系統的余維2分岔，揭示了各參數對機電耦合系統動力學行為的影響，對系統的參數設計、穩(wěn)定運行和故障診斷提供了理論依據。

7、給出了該機電耦合系統的數值仿真結果，驗證了理論分析結果。 （6）利用Silnikov定理，討論了具有自動頻率跟蹤功能電磁振動機械系統的混沌特性。借助卡爾達諾公式和微分方程組級數解分別討論了該系統的特征根問題和同宿軌道的存在性，進而比較嚴密地證明了該系統Silnikov型Smale混沌的存在性，并給出發(fā)生Silnikov型Smale混沌所需條件。利用數值模擬得到該類機電耦合系統的相軌跡圖、Lyaponov指數譜和Lyaponov維