非線性電路振蕩周期的分岔與混沌實驗

1、非線性電路振蕩周期的分岔與混沌非線性電路振蕩周期的分岔與混沌1963年美國氣象學家Lenz在分析天氣預模型時，首先發(fā)現(xiàn)空氣動力學中混沌現(xiàn)象，該現(xiàn)象只能用非線性動力學來解釋。從此人們對事物運動認識不再只局限于線性范圍。非線性動力學及分岔與混沌現(xiàn)象的研究已成為熱門課題，人們對此領域進行了深入研究，發(fā)現(xiàn)混沌現(xiàn)象涉及的領域極廣，如：物理學，電子學，經(jīng)濟學，生物學，計算機科學等。本實驗通過對非線性電路混沌現(xiàn)象的觀察，從而了解和理解非線性混沌現(xiàn)象的

2、本質。一一實驗目的實驗目的⒈了解非線性系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的形成過程；⒉通過非線性電路振蕩周期的分岔與混沌現(xiàn)象的觀察，加深對混沌現(xiàn)象的認識和理解⒊理解“蝴蝶效應”。二二實驗原理⒈分岔與混沌理論⑴邏輯斯蒂映射為了認識混沌（chaos）現(xiàn)象，我們首先介紹邏輯斯蒂映射，即一維線段的非線性映射，因為非線性微分方程的解通?？赊D化為非線性映射?？紤]一條單位長度的線段，線段上的一點用0和1之間的數(shù)表示。邏輯斯蒂映射是x)1(xkxx??其中是0和4之間的常數(shù)

3、。迭代這映射，我們得離散動力學系統(tǒng)k，，1，2…)1(1nnnxkxx???0?n我們發(fā)現(xiàn)：①當小于3時，無論初值是多少經(jīng)過多次迭代總能趨于一個穩(wěn)定的不動點k②當大于3時，隨著的增大出現(xiàn)分岔，迭代結果在兩個不同數(shù)值之間交替出現(xiàn)，稱之kk為周期2循環(huán)；繼續(xù)增大會出現(xiàn)4，8，16，32…周期倍化級聯(lián)；③很快在左右就kk58.3結束了周期倍增，迭代結果出現(xiàn)混沌從而無周期可言。④在混沌狀態(tài)下迭代結果對初值高度敏感，細微的初值差異會導致結果巨大區(qū)

4、別，常把這種現(xiàn)象稱之為“蝴蝶效應”。⑤迭代結果不會超出0～1的范圍稱為奇怪吸引子。以上這些特點可用圖示法直觀形象地給出。邏輯斯蒂映射函數(shù)是一條拋物線，所以先畫一條的拋物線，再畫一條的輔助線，迭代過程如箭頭線所示（圖)1(xkxy??xy?1）。圖1—A不動點圖1—B分岔周期2圖1—C混沌圖1—D蝴蝶效應X0XAXB圖3非線性電路原理圖圖4非線性負阻器件R的伏安曲線圖3電路的非線性動力學方程為：11211)(VcgVcVcGdtdVcC?

5、??LiVcVcGdtdVcC???)(21222VcdtdiLL??式中，導納G=1(Rv1Rv2)，和分別表示加在C1和C2上的電壓，表示流過1Vc2VcLi電感器L的電流，g表示非線性電阻的導納。⑵有源非線性負阻元件的實現(xiàn)有源非線性負阻元件的實現(xiàn)有源非線性負阻元件實現(xiàn)的方法有多種，這里使用的是一種較簡單的電路：采用兩個運算放大器（一個雙運放TL082）和六個配置電阻來實現(xiàn)，其電路如圖5所示，它的伏安特性曲線如圖6所示。由于本實驗研

6、究的是該非線性元件對整個電路的影響，只要知道它主要是一個負電阻電路（元件）能輸出電流，維持LC2振蕩器不斷振蕩，而非線性負阻元件的作用是使振動周期產(chǎn)生分岔和混沌等一系列現(xiàn)象。圖5圖6圖7實際非線性混沌電路圖R13.3KR222KR322KR42.2KR5220R622032V84VT1ATL082TL082T1B567C210nFC1100nFRV1RV2CH2CH116mHL16T1A?R13.3KR222KR322KR42.2KR5